[논문 리뷰] Primitive words and roots of words

Gerhard Lischke|arXiv (Cornell University)|2011. 04. 22.

semigroups and automata theory참고 문헌 21인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 형식 언어 이론에서 원시 단어와 그 뿌리에 대한 종합적인 조사 보고서를 제공하며, 그 조합적 성질, 콰이크스키 계층과의 관계, 계산 복잡도에 중점을 둔다. 논문은 여섯 가지의 서로 다른 뿌리 함수(루트, s루트, h루트, ss루트, sh루트, hh루트)를 도입하고 특성화하며, 여섯 뿌리 함수가 모두 서로 다른 값을 가지는 로만 단어—즉, 모든 여섯 뿌리 함수가 서로 다른 결과를 내는 단어—의 존재를 증명하고, 그들의 구성 조건을 설정하여 2010년에 제기된 미해결 문제를 해결한다.

ABSTRACT

In the algebraic theory of codes and formal languages, the set $Q$ of all primitive words over some alphabet $\zi $ has received special interest. With this survey article we give an overview about relevant research to this topic during the last twenty years including own investigations and some new results. In Section 1 after recalling the most important notions from formal language theory we illustrate the connection between coding theory and primitive words by some facts. We define primitive words as words having only a trivial representation as the power of another word. Nonprimitive words (without the empty word) are exactly the periodic words. Every nonempty word is a power of an uniquely determined primitive word which is called the root of the former one. The set of all roots of nonempty words of a language is called the root of the language. The primitive words have interesting combinatorial properties which we consider in Section 2. In Section 3 we investigate the relationship between the set $Q$ of all primitive words over some fixed alphabet and the language classes of the Chomsky Hierarchy and the contextual languages over the same alphabet. The computational complexity of the set $Q$ and of the roots of languages are considered in Section 4. The set of all powers of the same degree of all words from a language is the power of this language. We examine the powers of languages for different sets of exponents, and especially their regularity and context-freeness, in Section 5, and the decidability of appropriate questions in Section 6. Section 7 is dedicated to several generalizations of the notions of periodicity and primitivity of words.

연구 동기 및 목표

• 지난 20년간 원시 단어와 그 뿌리에 관한 연구를 종합하고 정리하기.
• 콰이크스키 계층과 문맥적 언어 클래스 내 원시 단어의 구조적 및 계산적 성질을 조사하기.
• 원시 단어 집합과 언어의 뿌리의 계산 복잡도를 분석하기.
• 주기성과 원시성 개념을 일반화하고 단어에 대해 여섯 가지의 서로 다른 뿌리 함수를 정의하기.
• 모든 여섯 뿌리 함수가 서로 다른 결과를 내는 단어의 존재를 해결하기

제안 방법

• 기타 단어의 거듭제곱이 아닌 단어로 원시 단어를 정의하고, 비원시 비어 있지 않은 단어로 주기적 단어를 정의한다.
• 접두사 및 접미사 관계를 기반으로 루트, s루트, h루트, ss루트, sh루트, hh루트의 여섯 가지 뿌리 함수를 도입한다.
• 사전순 최소성을 사용하여 k=1에서 6까지의 가장 작은 k-루트 단어를 식별한다.
• 조합론적 보조정리(예: 보조정리 58, 59, 60)를 적용하여 비원시 단어를 특성화하고 확장에 대한 닫힘성을 분석한다.
• 충분 조건을 이용해 로만 단어를 구성한다: u = w^{k1}vw^{k2}vw^{k1}vw^{k3}vw^{k3−k1}이며 2 ≤ k1 < k2 < k3 ≤ 2k1이다.
• 일반화된 원시 단어 집합에 대해 비문맥적 자유성 및 비문맥적 언어 성질을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 루트, s루트, h루트, ss루트, sh루트, hh루트의 여섯 뿌리 함수가 모두 서로 다른 결과를 내는 단어가 존재하는가?
• RQ2 각 k=1에서 6까지의 사전순으로 가장 작은 k-루트 단어는 무엇인가?
• RQ3 k=5와 k=6에 대해 강한 k-루트 단어(주기적 k-루트 단어)가 존재하는가?
• RQ4 로만 단어를 구성하기 위한 충분 조건은 必요 조건인가?
• RQ5 일반화된 원시 단어 집합(SQ, HQ, SSQ 등)은 문맥 자유 및 문맥 언어 클래스와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 사전순으로 가장 작은 6-루트 단어(로만 단어)는 ababaabababaababaababababaabab이다.
• 강한 6-루트 단어는 존재하지 않으며, 이는 정리 56에 의해 증명되었다.
• 처음으로 알려진 로만 단어는 2010년에 조르지 로만이 발견하여 여섯 개의 서로 다른 뿌리 함수를 가진 단어의 존재를 확인하였다.
• 로만 단어를 구성하기 위한 충분 조건은 다음과 같다: u = w^{k1}vw^{k2}vw^{k1}vw^{k3}vw^{k3−k1}이며 2 ≤ k1 < k2 < k3 ≤ 2k1이다.
• SQ, HQ, SSQ, SHQ, HHQ 집합은 모두 비문맥적이고 어떤 종류의 문맥적 언어도 아니다.
• 비원시 단어를 인식하는 데 있어 시간 복잡도 상한 n²는 SQ에 대해 최적이며, 다른 일반화된 집합에 대해서도 가능할 것으로 여겨지지만, 일부 경우에 대해서는 미해결 상태이다.