[논문 리뷰] Pro-p Iwahori-Hecke algebras are Gorenstein

Rachel Ollivier, Peter Schneider|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 16.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 21인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 재귀적 Iwahori-Hecke 대수와 그 Iwahori-Hecke 대응체가 재귀적 Iwahori-Hecke 대수의 자기내재 차원이 재귀적 군 G의 랭크로 유계된 Gorenstein 환임을 확립하며, G가 단순형일 경우 Auslander-Gorenstein 환이 됨을 보이고 있다. 또한 특성 p에서 이러한 대수들은 무한한 전반적 차원을 가지며, 이는 k가 대수적으로 닫혀 있을 경우 G의 매끄러운 k-표현의 범주 중 Iwahori-불변 벡터로 생성되는 범주 역시 무한한 전반적 차원을 가짐을 시사한다.

ABSTRACT

Let F be a locally compact nonarchimedean field with residue characteristic p and G the group of F-rational points of a connected split reductive group over F. For k an arbitrary field, we study the homological properties of the Iwahori-Hecke k-algebra H' and of the pro-p Iwahori-Hecke k-algebra H of G. We prove that both of these algebras are Gorenstein rings with self-injective dimension bounded above by the rank of G. If G is semisimple, we also show that this upper bound is sharp, that both H and H' are Auslander-Gorenstein and that there is a duality functor on the finitely generated modules of H (respectively H'). We obtain the analogous Gorenstein and Auslander-Gorenstein properties for the graded rings associated to H and H'. When k has characteristic p, we prove that in most cases H and H' have infinite global dimension. In particular, we deduce that the category of smooth k-representations of G=PGL(2,Q_p) generated by their invariant vectors under the pro-p-Iwahori subgroup has infinite global dimension (at least if k is algebraically closed).

연구 동기 및 목표

• 임의의 체 위에서 재귀적 Iwahori-Hecke 대수와 Iwahori-Hecke 대수의 호모로지적 성질을 연구하는 것, 특히 특성 p에서의 성질을 중심으로 한다.
• 이 대수들이 Gorenstein인지, 그리고 그 모듈러 범주에 쌍대성 함수자가 존재하는지 확인하는 것.
• 기초 체의 특성이 p일 경우 이러한 대수들의 전반적 차원을 분석하고, 특히 mod p 표현 이론의 맥락에서 고려하는 것.
• Hecke 대수의 관련 순서화된 링에 대해 Gorenstein 및 Auslander-Gorenstein 성질을 확장하는 것.

제안 방법

• Bruhat-Tits 이론과 애파인 Weyl 군의 구조를 이용하여 재귀적 Iwahori-Hecke 대수 H의 대수적 구조를 분석하는 것.
• 일반화된 해상도를 구성하고 Frobenius 확장의 응용을 통해 H와 그 부분대수 간의 관계를 설정하는 것.
• 순서화된 Hecke 대수 이론의 적용과 코특성 랏의 길이 함수의 사용을 통해 노에테리안성과 유한 생성성을 확립하는 것.
• 중심과 Weyl 군 작용을 통한 비가환 링 이론의 결과를 활용하여 자기내재 차원의 상한과 Auslander-Gorenstein 조건을 도출하는 것.
• Gordon의 보조정리의 활용을 통해 코특성 랏 내의 모노이드의 유한 생성성을 증명하고, 순서화된 대수가 교환적 부분환 위에서 유한 생성됨을 보장하는 것.
• 표준 필터링과 관련된 순서화된 링을 이용하여 H에서 gr•H로 호모로지 성질을 이전하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 체 위에서 재귀적 Iwahori-Hecke 대수는 자기내재 차원이 유계된 Gorenstein 환이 되는가?
• RQ2 k의 특성이 p일 경우, G의 매끄러운 k-표현 중 Iwahori-불변 벡터로 생성되는 범주의 전반적 차원이 유한한가?
• RQ3 재귀적 Iwahori-Hecke 대수에 관련된 순서화된 링은 여전히 Gorenstein인가? 그리고 그 자기내재 차원은 얼마인가?
• RQ4 재귀적 Iwahori-Hecke 대수가 언제 Auslander-Gorenstein가 되는가? 특히 G가 단순형일 경우의 조건은 무엇인가?
• RQ5 양의 특성에서 Iwahori-Hecke 대수와 그 재귀적 Iwahori-Hecke 변형의 전반적 차원은 얼마인가?

주요 결과

• 재귀적 Iwahori-Hecke 대수 H와 Iwahori-Hecke 대수 H′은 모두 자기내재 차원이 G의 랭크로 유계된 Gorenstein 환이다.
• G가 단순형일 경우, H와 H′의 자기내재 차원은 정확히 G의 랭크와 일치하며, 이는 상한이 날카로운 것을 보여준다.
• 관련 순서화된 링 gr•H와 gr•H′ 역시 Gorenstein이며, G가 단순형일 경우 Auslander-Gorenstein 환이다.
• 특성 p를 가진 체 k에 대해, 대수 H와 H′는 전반적 차원이 무한하다. 이는 k가 대수적으로 닫혀 있을 경우, G의 매끄러운 k-표현 중 Iwahori-불변 벡터로 생성되는 범주 역시 전반적 차원이 무한하다는 것을 의미한다.
• 특히, G = PGL₂(ℚₚ) 이고 k가 특성 p에서 대수적으로 닫혀 있을 경우, Iwahori-불변 벡터로 생성되는 매끄러운 k-표현의 범주는 전반적 차원이 무한하다.
• 순서화된 대수 gr•H는 유한 생성된 교환적 k-대수 위에서 유한 생성된 모듈로서 생성되며, 이는 왼쪽 및 오른쪽 노에테리안임을 보장한다.