[논문 리뷰] Probabilistic analysis of the Grassmann condition number

Dennis Amelunxen, Peter Bürgisser|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 12.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 33인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 볼록 가능성 문제에 대해 그라스만 조건 수의 평균 케이스 분석을 처음으로 제시한다. 리만 기하학을 활용해 그라스만 다양체 위에서 조건 수를 정규 쿠션의 구면 내재 체적과 연결한다. i.i.d. 표준 정규 행렬에 대해 기대 로그 조건 수는 $\mathbb{E}[\ln\mathscr{C}(A)] < 1.5\ln n + 1.5$로 유계이며, 선형 프로그래밍을 초월한 확률적 분석을 확장한다.

ABSTRACT

We analyze the probability that a random m-dimensional linear subspace of R^n both intersects a regular closed convex cone C\subseteq R^n and lies within distance αof an m-dimensional subspace not intersecting C (except at the origin). The result is expressed in terms of the spherical intrinsic volumes of the cone C. This allows us to perform an average analysis of the Grassmann condition number \C(A) for the homogeneous convex feasibility problem \exists x\in C\setminus 0 : Ax=0. The Grassmann condition number is a geometric version of Renegar's condition number, that we have introduced recently in [SIOPT 22(3):1029-1041, 2012]. We thus give the first average analysis of convex programming that is not restricted to linear programming. In particular, we prove that if the entries of A\in R^{m imes n} are chosen i.i.d. standard normal, then for any regular cone C, we have E[ln\C(A)]&lt;1.5 ln(n)+1.5. The proofs rely on various techniques from Riemannian geometry applied to Grassmann manifolds.

연구 동기 및 목표

• 선형 프로그래밍을 초월해 일반적인 볼록 가능성 문제로 조건 수의 확률적 분석을 확장하기.
• i.i.d. 표준 정규 분포를 가진 랜덤 행렬에 대해 기대 로그 그라스만 조건 수를 분석하기.
• 조건 수와 정규 볼록 쿠션의 구면 내재 체적 사이의 연결 고리를 설정하기.
• 동차 볼록 가능성 문제, 특히 2차 원형 프로그래밍과 반정형 프로그래밍을 포함한 기하학적 평균 케이스 복잡도 분석을 제공하기.

제안 방법

• 분석은 $\mathbb{R}^n$ 내에서 $m$차원 부분공간을 모델링하기 위해 그라스만 다양체 $\mathrm{Gr}_{n,m}$를 사용한다. 이 부분공간을 볼록 가능성 문제의 입력으로 간주한다.
• 정규 쿠션 $C$와 그 폴라르 $\breve{C}$와의 교차를 기반으로 원본 및 쌍대 가능 부분공간을 정의한다.
• 조건 수 $\mathscr{C}(A)$는 $A$의 영공간이 $C$와 원점에서만 교차하는 부분공간 집합 $\Sigma_m(C)$까지의 거리에 의해 분석된다.
• 논문은 튜브 공식과 그라스만 다양체 위의 적분 기하학을 적용하여, 무작위 부분공간이 $\Sigma_m(C)$로부터 거리 $\alpha$ 이내에 있을 확률을 계산하며, 이를 쿠션의 구면 내재 체적과 연결한다.
• 기하 확률과 그라스만의 곡률 적분을 활용해 기대 로그 조건 수를 유계로 제한하며, 리만 미분 기하학의 결과를 활용한다.
• 불량한 입력의 집합이 르베그 측도 0을 가지므로 거의 확실히 잘 정의된 문제임을 보장하는 사실에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 i.i.d. 표준 정규 분포를 가진 랜덤 $m \times n$ 행렬 $A$에 대해, 정규 볼록 쿠션 $C$를 포함하는 가능성 문제에서 기대 로그 그라스만 조건 수는 얼마인가?
• RQ2 그라스만 조건 수는 쿠션 $C$의 구면 내재 체적과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 볼록 프로그래밍에서 조건 수의 확률적 분석을 선형 프로그래밍을 초월해 2차 원형 프로그래밍과 반정형 프로그래밍까지 확장할 수 있는가?
• RQ4 무작위 $m$차원 부분공간이 불량한 집합 $\Sigma_m(C)$로부터 거리 $\alpha$ 이내에 있을 확률은 얼마이며, 이는 조건 수에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 쿠션 $C$의 기하학적 불변량, 예를 들어 내재 체적 등은 볼록 가능성 문제의 평균 케이스 복잡도에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• i.i.d. 표준 정규 분포를 가진 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$에 대해, 임의의 정규 쿠션 $C$에 대해 기대 로그 그라스만 조건 수는 $\mathbb{E}[\ln\mathscr{C}(A)] < 1.5\ln n + 1.5$로 유계이다.
• 무작위 $m$차원 부분공간이 불량 집합 $\Sigma_m(C)$로부터 거리 $\alpha$ 이내에 있을 확률은 $\varepsilon \cdot \exp(n/m)$로 유계이며, 여기서 $\varepsilon$는 작은 오차 항이다.
• 그라스만 조건 수는 $A$의 영공간이 그라스만 다양체 내의 타당 영역 경계까지의 거리로 기하학적으로 특징지어진다.
• 분석은 조건 수와 쿠션 $C$의 구면 내재 체적 사이의 정밀한 연결 고리를 확립하며, 이는 이전 결과를 비선형 볼록 프로그래밍으로 일반화한다.
• 이 방법은 모든 정규 쿠션에 대해 동일하게 적용되며, 비음성 직각좌표계(선형 프로그래밍), 로렌츠 쿠션(2차 원형 프로그래밍), 양의 준정형 쿠션(반정형 프로그래밍)을 포함한다.
• 결과는 선형 프로그램에 국한되지 않은 볼록 프로그래밍에 대한 첫 평균 케이스 복잡도 분석을 제공하며, 수치 알고리즘 분석을 위한 스메일의 이단계 체계에 있어 중요한 확장이다.