[논문 리뷰] Product structure of graph classes with bounded treewidth

Rutger Campbell, Katie Clinch외 9명|arXiv (Cornell University)|2022. 06. 06.

Advanced Graph Theory Research인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한한 크기의 완전 그래프와 유계 트리너비를 가진 그래프의 강한 곱의 부분그래프로 표현될 수 있는 그래프 클래스를 기술하기 위해 기본 트리너비(basically treewidth)의 개념을 도입한다. 평면 그래프와 $K_{s,t}$-minor-free 그래프 클래스는 각각 기본 트리너비가 3과 $s$임을 규명하고, 배제된 위상적 미니어를 통한 단조 그래프 클래스의 유계 기본 트리너비에 대한 완전한 특성화를 제공한다.

ABSTRACT

We show that many graphs with bounded treewidth can be described as subgraphs of the strong product of a graph with smaller treewidth and a bounded-size complete graph. To this end, define the "underlying treewidth" of a graph class $\mathcal{G}$ to be the minimum non-negative integer $c$ such that, for some function $f$, for every graph ${G \in \mathcal{G}}$ there is a graph $H$ with ${ ext{tw}(H) \leq c}$ such that $G$ is isomorphic to a subgraph of ${H \boxtimes K_{f( ext{tw}(G))}}$. We introduce disjointed coverings of graphs and show they determine the underlying treewidth of any graph class. Using this result, we prove that the class of planar graphs has underlying treewidth 3; the class of $K_{s,t}$-minor-free graphs has underlying treewidth $s$ (for ${t \geq \max\{s,3\}}$); and the class of $K_t$-minor-free graphs has underlying treewidth ${t-2}$. In general, we prove that a monotone class has bounded underlying treewidth if and only if it excludes some fixed topological minor. We also study the underlying treewidth of graph classes defined by an excluded subgraph or excluded induced subgraph. We show that the class of graphs with no $H$ subgraph has bounded underlying treewidth if and only if every component of $H$ is a subdivided star, and that the class of graphs with no induced $H$ subgraph has bounded underlying treewidth if and only if every component of $H$ is a star.

연구 동기 및 목표

• 그래프 클래스의 기본 트리너비를 정의하고 분석하여, 그것들이 강한 곱의 부분그래프로 얼마나 단순하게 표현될 수 있는지 측정한다.
• 플레인 및 미니어-프리 그래프와 같은 주요 그래프 클래스에 대해 이러한 곱에서 기반 그래프의 최소 트리너비를 규명한다.
• 배제된 위상적 미니어를 사용하여 유계 기본 트리너비를 가진 단조 그래프 클래스를 특성화한다.
• 원형 도식과 약한 외부 $k$-평면성과 같은 구조적 제약 조건이 기본 트리너비를 유 bounds 하기 위한 역할을 어떻게 하는지 탐색한다.
• 특히 작은 상수를 가진 다양한 그래프 클래스에 대해 트리너비 유도 함수에 대한 날것의 경계를 확립한다.

제안 방법

• 기본 트리너비를 분석하고 특성화하기 위한 구조적 도구로 분리된 커버리지(disjointed coverings)의 개념을 도입한다.
• 분리된 커버리지 기법을 사용하여, 그래프 클래스가 유계 기본 트리너비를 가진다는 것과 그것이 고정된 위상적 미니어를 배제한다는 것이 동치임을 증명한다.
• 유계 트리너비를 가진 그래프를 낮은 트리너비를 가진 그래프와 고정 크기의 완전 그래프의 곱에 통합하기 위해 강한 곱의 구조 정리(strong product structure theorem)를 적용한다.
• 원형 도식과 간선 교차 제약 조건을 사용하여 약한 외부 $k$-평면 그래프를 정의하고 구조적 경계를 도출한다.
• 기존의 $k$-평면 및 $k$-외부 평면 그래프에 대한 트리너비 경계를 활용하여 트리-파artition-넓이와 기본 트리너비 결과를 유도한다.
• 도식의 평면화를 통해 $k$-평면 그래프를 위상적 미니어와 연결하고, 곱의 구조 정리를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 그래프 클래스들이 유계 트리너비를 가진 그래프와 고정 크기의 완전 그래프의 강한 곱의 부분그래프로 표현될 수 있는가?
• RQ2 평면 그래프 클래스의 최소 기본 트리너비는 얼마이며, 작은 트리너비 유도 함수로 달성 가능한가?
• RQ3 어떤 그래프 $H$ 에 대해 $H$-서브그래프 프리 또는 $H$-유도 서브그래프 프리 그래프 클래스가 유계 기본 트리너비를 가질 수 있는가?
• RQ4 고정된 위상적 미니어를 배제하는 것이 단조 그래프 클래스의 유계 기본 트리너비를 어떻게 특성화하는가?
• RQ5 약한 외부 $k$-평면성 또는 간선당 고정된 교차 수와 같은 구조적 제약 조건이 작은 상수를 가진 유계 기본 트리너비를 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 평면 그래프 클래스의 기본 트리너비는 3이며, 이 경계는 날것이며, 트리너비 $k$를 가진 그래프에 대해 트리너비 유도 함수는 $O(k^2)$이다.
• $K_{s,t}$-minor-free 그래프 클래스($t \neq 3$ 및 $t \neq 4$일 때)의 기본 트리너비는 $s$이며, $K_t$-minor-free 그래프 클래스의 기본 트리너비는 $t-2$이다.
• 단조 그래프 클래스가 유계 기본 트리너비를 가진다는 것과 그것이 어떤 고정된 위상적 미니어를 배제한다는 것은 동치이며, 이는 완전한 구조적 특성화를 제공한다.
• 외부 $k$-평면 그래프 클래스의 기본 트리너비는 2이며, 상수 트리너비 유도 함수를 가진다. 이는 기존의 외부 평면 그래프의 트리너비 2 성질을 일반화한다.
• 반경 $r$을 가진 $k$-평면 그래프에 대해 기본 트리너비는 $O((rk)^9)$로 유 bounds 되며, 이는 평면화와 곱의 구조 정리를 통해 유도된다.
• 그래프가 $H$-서브그래프를 포함하지 않는 경우, 기본 트리너비가 유계일 조건은 $H$의 각 성분이 부분적으로 별다른 별다리(부분적으로 별다리)인 경우에만 성립한다. 마찬가지로, $H$-유도 서브그래프를 포함하지 않는 그래프 클래스가 유계 기본 트리너비를 가질 조건은 $H$의 각 성분이 별다리인 경우에만 성립한다.