[논문 리뷰] Propositional equality, identity types, and direct computational paths

Ruy J. G. B. de Queiroz, Anjolina Grisi de Oliveira|arXiv (Cornell University)|2011. 07. 10.

Logic, programming, and type systems인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 반사 원시적 요소에 의존하지 않고, 재작성 및 치환의 순서로 형성된 경로로 신뢰성 유형의 경로 유형을 계산적 해석하는 방법을 제안한다. 여러 개의 서로 다른 정규 증명이 존재할 수 있음을 보여주며, 이를 통해 신뢰성 증명의 유일성 원칙(Unique Identity Proofs, UIP)을 반박하고, 동치성 증명을 계산적 경로로 모델링함으로써 호모토피 유형 이론과 일치시킨다.

ABSTRACT

In proof theory the notion of canonical proof is rather basic, and it is usually taken for granted that a canonical proof of a sentence must be unique up to certain minor syntactical details (such as, e.g., change of bound variables). When setting up a proof theory for equality one is faced with a rather unexpected situation where there may not be a unique canonical proof of an equality statement. Indeed, in a (1994--5) proposal for the formalisation of proofs of propositional equality in the Curry--Howard style, we have already uncovered such a peculiarity. Totally independently, and in a different setting, Hofmann & Streicher (1994) have shown how to build a model of Martin-Löf's Type Theory in which uniqueness of canonical proofs of identity types does not hold. The intention here is to show that, by considering as sequences of rewrites and substitution, it comes a rather natural fact that two (or more) distinct proofs may be yet canonical and are none to be preferred over one another. By looking at proofs of equality as rewriting (or computational) paths this approach will be in line with the recently proposed connections between type theory and homotopy theory via identity types, since elements of identity types will be, concretely, paths (or homotopies).

연구 동기 및 목표

• 재작성 식별자가 명시적으로 존재하지 않아, 제안적 동치성의 정규 증명 구조가 부족한 유형 이론의 기초적 문제를 해결하기 위해.
• 신뢰성 유형에 대한 정규 증명의 유일성이라는 가정을 도전하기 위해. 이는 호프만과 슈타이너의 군oids 모델과 모순된다.
• 신뢰성 유형을 재작성 및 치환의 순서를 객체 언어의 일급 실체로 다룰 수 있도록 재구성하여, 동치성의 계산적 경로를 자연스럽게 포착하기 위해.
• 재작성 및 치환의 순서를 객체 언어의 일급 실체로 다룰 수 있도록 하는 증명 이론적 기반을 제공하기 위해.
• 신뢰성 유형의 군oids 법칙을 검증하고, 동일한 동치성에 대해 여러 개의 서로 다른 정규 증명이 모두 유효하게 존재할 수 있음을 보여주기 위해.

제안 방법

• 재작성 및 치환의 순서를 명시적으로 식별자로 사용하는 신뢰성 유형 도입 규칙을 도입: $ \frac{a =_s b : A}{s(a,b) : \mathrm{Id}_A(a,b)} $, 여기서 $ s $ 는 재작성 및 치환의 순서를 나타낸다.
• 일반적인 동치성 규칙(반사성, 대칭성, 추이성)을 메타 수준의 식별자($ \rho, \sigma, \tau $)를 사용하여 계산적 경로로 정의한다.
• 등급 증명을 항 재작성 시스템(TRS)의 항으로 모델링하여, 동치성 증명의 계산적 행동을 형식화한다. 특히 $ LND_{EQ} $-TRS를 사용한다.
• 재작성 시스템의 종료성을 증명하기 위해 재귀적 경로 순서(RPO)를 적용하여, 모든 증명이 정규 형식으로 수렴함을 보장한다.
• 혼합성(Confluence)을 확립하기 위해 쿤스-벤딕스 완성 절차를 적용하여, 모든 감소 경로가 유일한 정규 형식으로 수렴함을 보장한다.
• 복잡한 재작성 규칙을 지원하기 위해, 부분항에서 유도된 연산자(예: $ \mathrm{sub}_L, \mathrm{sub}_R $)를 처리할 수 있도록 재귀적 경로 순서를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유형 이론에서 제안적 동치성이 재작성 및 치환의 순서를 일급 계산적 경로로 다룰 수 있도록 형식화할 수 있는가?
• RQ2 표준적인 신뢰성 유형의 형식화가 동일한 동치성에 대해 여러 정규 증명이 존재하는 것을 설명하지 못하는 이유는 무엇인가?
• RQ3 여러 개의 서로 다른 정규 증명이 모두 유효하고, 어느 하나도 우선시되지 않는 증명 이론적 체계를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 신뢰성 유형의 군oids 성질이 계산적 재작성 경로를 통해 얼마나 자연스럽게 포착될 수 있는가?
• RQ5 여러 개의 정규 증명이 존재하는 것이, 동치성에 대한 재작성 시스템의 혼합성 또는 종료성과 모순되는가?

주요 결과

• 논문은 동일한 동치성 문장에 대해 서로 다른 정규 증명이 존재할 수 있음을 입증하여, 신뢰성 증명의 유일성 원칙(UIP)을 직접적으로 반박한다.
• 재귀적 경로 순서와 쿤스-벤딕스 완성 절차를 사용하여 $ LND_{EQ} $-TRS 재작성 시스템이 종료성과 혼합성을 모두 만족함을 증명한다.
• 이 시스템은 각 경로가 재작성 및 치환의 순서에 해당하는 계산적 경로로 신뢰성 유형을 성공적으로 모델링한다.
• 재작성 순서에 대한 명시적 식별자를 도입함으로써, 유형 이론에서 잘못된 이원론을 해소하여, 동치성의 계산적 성격을 더 명확하게 드러낸다.
• 신뢰성 증명을 경로로 간주함으로써, 호프만과 슈타이너의 모델에서 요구하는 군oids 법칙을 자연스럽게 검증한다.
• 혼합성 덕분에, 동일한 동치성에 대해 여러 개의 서로 다른 정규 증명이 존재하더라도, 모든 감소 경로가 유일한 정규 형식으로 수렴함을 보장한다.