[논문 리뷰] Pseudorandom generators and the BQP vs. PH problem

Bill Fefferman, Christopher Umans|arXiv (Cornell University)|2010. 07. 02.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 18인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 Nisan-Wigderson 균일성 생성기의 $AC_0$ 회로에 대해 다수 함수를 디자인된 하드 함수로 사용할 때, 이 생성기가 다수 함수를 기반으로 하여 $AC_0$ 회로를 속일 수 있다는 추측을 제안한다. 이 추측이 참이라면, BQP가 PH에 속하지 않는 오라클이 존재하게 된다. 주요 기여는 거의 분리된 행 지지 집합을 가진 양자적으로 계산 가능한 유니터리 행렬을 구성하여, 양자 알고리즘이 생성기의 출력을 균일 분포와 구별할 수 있도록 하고, 반면 고전적 $AC_0$ 회로는 이를 구별하지 못하도록 하는 것이다. 이는 추측 하에 성립한다.

ABSTRACT

It is a longstanding open problem to devise an oracle relative to which BQP does not lie in the Polynomial-Time Hierarchy (PH). We advance a natural conjecture about the capacity of the Nisan-Wigderson pseudorandom generator [NW94] to fool AC_0, with MAJORITY as its hard function. Our conjecture is essentially that the loss due to the hybrid argument (which is a component of the standard proof from [NW94]) can be avoided in this setting. This is a question that has been asked previously in the pseudorandomness literature [BSW03]. We then make three main contributions: (1) We show that our conjecture implies the existence of an oracle relative to which BQP is not in the PH. This entails giving an explicit construction of unitary matrices, realizable by small quantum circuits, whose row-supports are "nearly-disjoint." (2) We give a simple framework (generalizing the setting of Aaronson [A10]) in which any efficiently quantumly computable unitary gives rise to a distribution that can be distinguished from the uniform distribution by an efficient quantum algorithm. When applied to the unitaries we construct, this framework yields a problem that can be solved quantumly, and which forms the basis for the desired oracle. (3) We prove that Aaronson's "GLN conjecture" [A10] implies our conjecture; our conjecture is thus formally easier to prove. The GLN conjecture was recently proved false for depth greater than 2 [A10a], but it remains open for depth 2. If true, the depth-2 version of either conjecture would imply an oracle relative to which BQP is not in AM, which is itself an outstanding open problem. Taken together, our results have the following interesting interpretation: they give an instantiation of the Nisan-Wigderson generator that can be broken by quantum computers, but not by the relevant modes of classical computation, if our conjecture is true.

연구 동기 및 목표

• BQP가 다항시간계층(PH)에 속하지 않는 오라클을 구성하는 데 오랜 기간 미해결된 문제를 해결하기 위해.
• 특히 Nisan-Wigderson 생성기에서 다수 함수를 하드 함수로 사용할 경우, 균일성 이론에서 하이브리드 추론의 손실을 피할 수 있는 설정을 규명하기 위해.
• 균일성 이론과 양자 복잡도 이론을 연결하여, 추측 하에 양자 알고리즘이 Nisan-Wigderson 생성기의 출력을 균일 분포와 구별할 수 있지만, 고전적 $AC_0$ 회로는 그렇지 못함을 보여주기 위해.
• 효율적으로 양자적으로 계산 가능한 유니터리 행렬이 양자 알고리즘에 의해 구별 가능한 분포를 생성할 수 있고, 고전적 $AC_0$ 회로에 의해 구별되지 않는 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• Nisan-Wigderson 생성기가 다수 함수를 하드 함수로 사용할 때, 블록 수 $m$이 $π$에 대해 다항식일 경우, 하이브리드 추론에서 발생하는 표준적인 $1/m$ 손실을 피할 수 있다는 추측을 제안한다.
• 작은 양자 회로로 실현 가능한 유니터리 행렬을 명시적으로 구성하여, 그들의 행 지지 집합이 거의 분리되어 있음을 보장함으로써, 생성기의 출력을 양자적으로 구별할 수 있도록 한다.
• 모든 효율적으로 양자적으로 계산 가능한 유니터리 행렬이 효율적인 양자 알고리즘에 의해 균일 분포와 구별 가능한 분포를 유도한다는 일반적인 프레임워크를 제안한다.
• 이 프레임워크를 활용하여, 양자 다항시간 내에 해결 가능하지만 $AC_0$ 회로에서는 해결 불가능한 문제를 정의함으로써, 원하는 오라클의 기초를 마련한다.
• Aaronson의 GLN 추측이 제안된 추측을 함의함을 증명함으로써, 이 추측을 더 쉽게 증명할 수 있도록 하고, 깊이 2인 경우는 여전히 열려 있음을 언급한다.
• 모든 증명이 비블랙박스여야 한다는 점을 보여주며, 블랙박스 감소는 저도수 다항식 근사에 대한 알려진 하한과 모순된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Nisan-Wigderson 생성기에서 다수 함수를 하드 함수로 사용할 때, $AC_0$ 회로를 속이는 증명에서 하이브리드 추론의 표준적인 $1/m$ 손실을 피할 수 있는가?
• RQ2 균일성 이론에 대한 납득할 만한 추측 하에, BQP가 PH에 포함되지 않는 오라클이 존재하는가?
• RQ3 제안된 추측 하에, 양자 알고리즘이 Nisan-Wigderson 생성기의 출력을 균일 분포와 구별할 수 있지만, $AC_0$ 회로는 그렇지 않은가?
• RQ4 GLN 추측이 그러한 오라클의 존재를 함의하는가? 그리고 제안된 추측을 함의하는가?
• RQ5 하이브리드 추론의 손실을 피할 경우, Nisan-Wigderson 생성기가 $AC_0$를 속이는 것을 보일 수 있는 비블랙박스 증명 기법이 존재하는가?

주요 결과

• 제안된 추측이 참이라면, BQP가 PH에 속하지 않는 오라클이 존재하게 되며, 이는 양자 복잡도 이론에서 오랫동안 미해결된 문제를 해결한다.
• 논문은 거의 분리된 행 지지 집합을 가진 양자 회로로 실현 가능한 유니터리 행렬을 명시적으로 구성하여, 양자 구별자에 필수적인 요소를 제공한다.
• 모든 효율적으로 양자적으로 계산 가능한 유니터리 행렬이 효율적인 양자 알고리즘에 의해 균일 분포와 구별 가능한 분포를 생성한다는 일반적 프레임워크를 개발하였다.
• 이 추측은 Aaronson의 GLN 추측보다 형식적으로 더 약하며, 깊이가 2 초과인 경우 최근에 거짓으로 밝혀졌지만, 깊이 2의 경우는 여전히 열려 있다.
• 이 추측은 BQP가 AM에 속하지 않는 오라클의 존재를 함의하며, 이는 복잡도 이론에서 또 다른 주요 미해결 문제이다.
• 결과적으로, 제안된 추측이 참이라면, 양자 컴퓨터에 의해 해독 가능한 반면 고전적 $AC_0$ 회로에 의해 해독 불가능한 Nisan-Wigderson 생성기의 구체적 구현이 존재할 가능성이 제기된다.