[논문 리뷰] Public key exchange using semidirect product of (semi)groups

Maggie Habeeb, Delaram Kahrobaei외 2명|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 24.

DNA and Biological Computing참고 문헌 1인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 (반)군의 반직접곱을 기반으로 하는 새로운 공개 키 교환 프로토콜을 제안한다. 특히 군의 자동형사상에 의한 확장으로, 비가환 반군—특히 ℤ₇[A₅] 위의 행렬—을 사용하여 키 교환을 구현한다. 당사자들은 전체 결과 대신 부분 결과만을 전송함으로써, 고전적 디피-헬만 문제와는 다른 가정에 기반한 보안을 제공하며, A₅의 단순성 덕분에 동형사상 기반 공격에 저항한다.

ABSTRACT

In this paper, we describe a brand new key exchange protocol based on a semidirect product of (semi)groups (more specifically, on extension of a (semi)group by automorphisms), and then focus on practical instances of this general idea. Our protocol can be based on any group, in particular on any non-commutative group. One of its special cases is the standard Diffie-Hellman protocol, which is based on a cyclic group. However, when our protocol is used with a non-commutative (semi)group, it acquires several useful features that make it compare favorably to the Diffie-Hellman protocol. Here we also suggest a particular non-commutative semigroup (of matrices) as the platform and show that security of the relevant protocol is based on a quite different assumption compared to that of the standard Diffie-Hellman protocol.

연구 동기 및 목표

• 반(半)군의 반직접곱을 사용하여 디피-헬만 프로토콜을 일반화하는 새로운 공개 키 교환 프로토콜을 개발한다.
• 비가환 반군, 특히 군환 위의 행렬 반군을 사용하여 프로토콜의 실용적 구현을 탐색한다.
• 비아벨리안 플랫폼을 사용할 경우, 프로토콜의 보안이 표준 디피-헬만 문제와 다른 계산 가정에 기반한다는 것을 입증한다.
• 플랫폼 요소를 선택하여 자명화에 의해 정보 泄露를 방지함으로써, 군의 동형사상 기반 공격에 저항한다.
• 전체 거듭제곱 전송보다 더 작은 전송 데이터를 제공하는 안전하고 효율적인 키 교환 메커니즘을 제공한다.

제안 방법

• 프로토콜은 H가 Aut(G)의 부분군인 반직접곱 G ⋊ₚ H를 사용하며, 공명 유사 연산을 통해 키 교환을 구성한다.
• 당사자들은 부분 결과를 계산하고 교환한다: 앨리스는 H⁻ᵐ(HM)ᵐ를, 박사는 H⁻ⁿ(HM)ⁿ를 전송한다. 여기서 M은 ℤ₇[A₅] 위의 비가역 행렬이다.
• 공유 비밀 키는 K = H⁻⁽ᵐ⁺ⁿ⁾(HM)ᵐ⁺ⁿ로 유도되며, 양 당사자가 교환된 값으로 독립적으로 계산한다.
• 플랫폼은 ℤ₇[A₅] 위의 3×3 행렬을 사용하며, 항목들이 합이 0이 되도록 선택하여 자명화 동형사상 하에서의 정보 泄露를 방지한다.
• 가역 행렬 H는 ℤ₇[A₅]에서 대각선 항목이 가역인 랜덤 상삼각/하삼각 행렬 20개의 곱으로 샘플링한다.
• 요소의 순서에 의존하지 않도록 비가역 행렬과 루프를 사용함으로써 브루트 포스 공격이 고전적 디피-헬만보다 더 어렵게 만든다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자동형사상에 의한 (반)군의 반직접곱을 사용하여 디피-헬만 프로토콜을 일반화한 공개 키 교환 프로토콜을 구성할 수 있는가?
• RQ2 비가환 반군을 플랫폼으로 사용할 경우, 보안 가정이 고전적 디피-헬만 문제와 다를 수 있는가?
• RQ3 입력 항목의 합이 0이 되도록 제어된 ℤ₇[A₅] 위의 행렬을 사용하여 효율적이고 안전한 키 교환을 달성할 수 있는가?
• RQ4 특히 자명화 사상에 의해 발생하는 공격을 방지하기 위해 프로토콜을 어떻게 설계할 수 있는가?
• RQ5 플랫폼 요소가 유한 순서가 아닌 작은 루프를 가질 경우, 프로토콜의 보안이 유지되는가?

주요 결과

• 프로토콜은 디피-헬만 키 교환을 일반화하며, 플랫폼 군이 순환일 경우 원래 디피-헬만 프로토콜로 내림내림된다.
• 비아벨리안 케이스에서 보안은 (h, h⁻ᵐgᵐ, h⁻ⁿgⁿ)에서 K = h⁻⁽ᵐ⁺ⁿ⁾gᵐ⁺ⁿ을 복구하는 것의 어려움에 기반하며, 이는 이산 로그 문제나 디피-헬만 문제와는 다른 문제이다.
• 입력 항목의 합이 0인 ℤ₇[A₅] 위의 행렬을 사용함으로써 자명화 동형사상이 정보를 泄露하지 않으며, 모든 전송된 행렬이 0 행렬로 매핑된다.
• 플랫폼 군 A₅는 단순하고 비자명한 동형사상이 없어, 스푸핑자가 동형사상 공격을 통해 부분 키 정보를 확보할 수 없다.
• 가역 원소의 작은 순서가 아니라 비가역 행렬과 루프를 사용함으로써 브루트 포스 공격에 저항한다.
• 가역 행렬 H의 샘플링 절차는 효율적이며, 20개의 랜덤 삼각 행렬의 곱을 사용하여 실용성은 유지하면서 보안을 훼손하지 않는다.