[논문 리뷰] Pure states in the SYK model and nearly-$AdS_2$ gravity

Ioanna Kourkoulou, Juan Maldacena|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 07.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 27인용 수 68

한 줄 요약

이 논문은 SYK 모델에서 유클리드 프로젝션을 통해 순수 상태를 구성하고, 대각 상관함수가 열상 상관함수의 선도적 차수와 일치함을 보이며, 비대각 상관함수를 분석하고, 경계 뒤 영역 및 통과가능한 웜홀 유사 수정과 관련된 중력 해석을 논한다.

ABSTRACT

We consider pure states in the SYK model. These are given by a simple local condition on the Majorana fermions, evolved over an interval in Euclidean time to project on to low energy states. We find that "diagonal" correlators are exactly the same as thermal correlators at leading orders in the large $N$ expansion. We also describe "off diagonal" correlators that decay in time, and are given simply in terms of thermal correlators. We also solved the model numerically for low values of $N$ and noticed that subsystems become typically entangled after an interaction time. In addition, we identified configurations in two dimensional nearly-$AdS_2$ gravity with similar symmetries. These gravity configurations correspond to states with regions behind horizons. The region behind the horizon can be made accessible by modifying the Hamiltonian of the boundary theory using the the knowledge of the particular microstate. The set of microstates in the SYK theory with these properties generates the full Hilbert space.

연구 동기 및 목표

• Simple local Majorana 조건과 유클리드 시간 진화를 통해 SYK 모델에서 순수 상태의 클래스를 정의한다.
• 이 상태들에서의 대각 2점 함수가 대형 N에서 선도적 차수의 열상 상관함수와 재현되는지 보인다.
• Lorentzian 진화 하에서의 비대각 상관함수의 특성과 그 거동을 규명한다.
• 정확 대각화로부터의 수치적 증거를 통해 부분계가 유한 상호작용 시간 후에 얽히게 됨을 보인다.
• 경계 해밀토니언 조작을 통해 horizon 뒤 영역에 접근 가능한 거의-AdS2의 중력 해석을 제안한다

제안 방법

• 랜덤 4차 결합을 갖는 Majorana 페르미온 SYK 모델과 O(N) 대칭 분석을 사용한다.
• Majorana 페르모나 쌍에 대한 고유값 조건으로 경계 순수 상태 |B_s>를 정의하고, 이는 2^(N/2)-차원의 기저를 형성한다.
• 이 상태들을 유클리드 시간 ℓ로 진화시켜 저에너지 상태 |B(ℓ)>, β=2ℓ를 형성하고 이들 상태에서 상관관계를 계산한다.
• 복제 기법과 대형-N Schwinger-Dyson 방정식을 적용하여 대각 상관함수 G_diag(τ,τ')가 선도적으로 Gβ(τ−τ')와 같음을 보이고, 비대각 상관함수 G_off(τ,τ')가 열상 상관함수의 곱으로 표현될 수 있음을 보인다.
• Δ=1/4인 conformal 2점 함수 Gβ(τ)를 사용한 저에너지(거의 conformal) 분석을 수행한다.
• 유한 N(예: N=24,30)에 대해 정확 대각화를 사용하여 |B> 상태 계수, 상관관계 소멸, 엔탱글먼트 엔트로피 증가를 연구한다.
• 경계 충격파를 포함한 거의-AdS2 중력 해석에서 horizon 뒤 영역이 존재하는 구성을 논의하고, 이를 boundary 해밀토니안 조작과 연관시킨다

실험 결과

연구 질문

• RQ1 구성된 순수 상태의 대각 2점 함수가 1/N의 선도적 차수에서 유한 온도 열상 상관함수를 재현하는가?
• RQ2 이 순수 상태에서 비대각 상관함수의 거동은 어떠하며 열상 상관함수의 조합으로 표현될 수 있는가?
• RQ3 순수 상태 부분계의 엔트랭글먼트 시간 진화는 어떻게 되며 일반적인 무작위 상태 얽힘에 얼마나 빨리 접근하는가?
• RQ4 이 SYK 순수 상태에 대응하는 거의-AdS2의 중력 구성이 무엇이며 경계 수정으로 horizon 뒤 영역을 볼 수 있는가?
• RQ5 유한-N 수치해석 결과가 대칭적/비대칭 상관함수 및 중첩(예: ⟨B_s|e^{-2ℓH}|B_s⟩)에 대한 대형-N 해석적 예측을 얼마나 잘 지지하는가?

주요 결과

• 순수 상태의 대각 상관함수는 대형 N에서 열상 상관함수와 정확히 동일하다.
• 비대각 상관함수는 시간에 따라 감소하고, 1/N 보정을 제외하면 열상 상관함수들로 단순히 표현될 수 있다.
• 수치적인 대각화는 부분계가 유한 상호작용 시간 후에 일반적으로 얽히며, 엔탱글먼트 포화는 부분계 크기에 거의 의존하지 않는 경향이 있음을 보인다.
• 거의-AdS2 중력 해석에서 horizon에 접근하는 경계 충격파 구성을 식별하고, 이를 경계 해밀토니안 수정으로 horizon 뒤 영역을 열람할 수 있는 기저상태로 연결한다.
• 초기 |B_s> 표본의 부호 선택을 평균화하면 열적 앙상블이 재현되며, 개별 |B_s> 상태는 대략 열적 상관함수를 선도 차수에서 재현한다.
• 저에너지의 conformal 한계에서 G_off(t,t')가 시간이 지남에 따라 열화와 일치하는 방식으로 감소하는 명시적 형태를 제공한다