[논문 리뷰] $q$-Volkenborn Integration and Its Applications

Taekyun Kim|ArXiv.org|2005. 10. 25.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{Z}_p$ 상에서의 $q$-볼켄봄 통합을 사용하여 다중 $q$-오일러 수와 다항식에 대한 체계적인 프레임워크를 제안하며, 고차수 $p$-진 $q$-오일러 수와 다항식을 구성하고, 새로운 생성 함수를 정의하며, 음의 정수에서 $q$-오일러 다항식을 보간하는 오일러 $q$-제타 함수를 도입한다.

ABSTRACT

The main purpose of this paper is to present a systemic study of some families of multiple $q$-Euler numbers and polynomials. In particular, by using the $q$-Volkenborn integration on $\Bbb Z_p$, we construct $p$-adic $q$-Euler numbers and polynomials of higher order. We also define new generating functions of multiple $q$-Euler numbers and polynomials. Furthermore, we construct Euler $q$-Zeta function. This paper is the version of the preprint of my paper to publish in the special issues as the preprint part of this proceedings.

연구 동기 및 목표

• 다중 $q$-오일러 수와 다항식의 체계적 이론을 $\mathbb{Z}_p$ 상의 $q$-볼켄봄 통합을 사용하여 개발하기.
• 고차수 $p$-진 $q$-오일러 수와 다항식을 $q$-볼켄봄 적분을 통해 구성하기.
• 고차수 다중 $q$-오일러 수와 다항식을 위한 새로운 생성 함수 정의하기.
• 음의 정수에서 $q$-오일러 다항식을 보간하는 오일러 $q$-제타 함수를 도입하고 연구하기.

제안 방법

• 고차수 $p$-진 $q$-오일러 수를 $[x_1 + \cdots + x_k]_q^m$의 $k$중 적분으로 정의하며, 가중치로 $q^{x_1(h-1) + \cdots + x_k(h-k)}$를 사용한다.
• 생성 함수를 $F_q(t,x) = [2]_q \sum_{n=0}^\infty (-1)^n q^{hn} e^{[n+x]_q t}$로 정의하여 $E_{n,q}^{(h,1)}(x)$를 생성한다.
• 적분 표현식을 통해 오일러 $q$-제타 함수를 구성한다: $\zeta_{E,q}^h(s,x) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty t^{s-1} F_q(-t,x) dt$, $s \in \mathbb{C}$ 및 $|q| < 1$ 에서 유효하다.
• $q$-이항계수와 $q$-포흐하머 기호를 사용하여 $E_{m,q}^{(h,k)}$의 명시적 공식 유도: $E_{m,q}^{(h,k)} = \frac{[2]_q^k}{(1-q)^m} \sum_{l=0}^m \binom{m}{l} \frac{(-1)^l}{(-q^{h+l}:q^{-1})_k}$.
• 재귀 및 콘볼루션 항등식을 수립하며, 예를 들어 $E_{m,q}^{(k)}(x) = \sum_{j=0}^m \binom{m}{j} q^{jx} E_{m-j,q}^{(k+j,1)}(x) E_{j,q}^{(k-1)}$와 같이 서로 다른 차수 간의 관계를 설정한다.
• $q$-볼켄봄 적분 표현식을 사용하여 $E_{k,q}(x) = \int_{\mathbb{Z}_p} [x + x_1]_q^k d\mu_{-q}(x_1)$를 유도하며, 이는 고전적 오일러 다항식을 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차수 $p$-진 $q$-오일러 수와 다항식은 어떻게 $q$-볼켄봄 통합을 통해 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 고차수 다중 $q$-오일러 수와 다항식을 위한 생성 함수는 무엇인가?
• RQ3 어떻게 하면 음의 정수에서 $q$-오일러 다항식을 보간하는 오일러 $q$-제타 함수를 정의할 수 있는가?
• RQ4 다양한 차수의 $q$-오일러 수와 다항식의 구조를 지배하는 재귀 및 콘볼루션 항등식은 무엇인가?
• RQ5 $q \to 1$의 극한에서 $q$-오일러 수와 다항식은 어떻게 고전적 오일러 수와 다항식으로 줄어드는가?

주요 결과

• $q$-볼켄봄 적분 표현식을 통해 $E_{k,q}(x) = \int_{\mathbb{Z}_p} [x + x_1]_q^k d\mu_{-q}(x_1)$를 도출하며, 이는 고전적 오일러 다항식을 일반화한다.
• 고차수 $q$-오일러 수는 $E_{m,q}^{(h,k)} = \frac{[2]_q^k}{(1-q)^m} \sum_{l=0}^m \binom{m}{l} \frac{(-1)^l}{(-q^{h+l}:q^{-1})_k}$로 주어지며, $q$-포흐하머 기호로 표현된 닫힌 형식의 공식이다.
• 오일러 $q$-제타 함수 $\zeta_{E,q}^h(s,x) = [2]_q \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n q^{nh}}{[n+x]_q^s}$는 음의 정수에서 $q$-오일러 다항식을 보간하며, $\zeta_{E,q}^h(-m,x) = E_{m,q}^{(h,1)}(x)$를 만족한다.
• 생성 함수 $F_q(t,x) = [2]_q \sum_{n=0}^\infty (-1)^n q^{hn} e^{[n+x]_q t}$는 $E_{n,q}^{(h,1)}(x)$를 생성하며, $F_q(t,x) = \sum_{n=0}^\infty E_{n,q}^{(h,1)}(x) \frac{t^n}{n!}$로 표현된다.
• 콘볼루션 항등식이 성립한다: $E_{m,q}^{(k)}(x) = \sum_{j=0}^m \binom{m}{j} q^{jx} E_{m-j,q}^{(k+j,1)}(x) E_{j,q}^{(k-1)}$, 서로 다른 차수를 연결한다.
• $q \to 1$의 극한에서 $q$-오일러 수 $E_{m,q}^{(h,k)}$는 고전적 다중 오일러 수 $E_m^{(k)}$로 줄어들며, $E_m^{(k)} = \sum_{j=0}^m \binom{m}{j} E_j^{(k-1)} E_{m-j}^{(1)}$를 만족한다.