[논문 리뷰] Quantifying nonstabilizerness of matrix product states

Tobias Haug, Lorenzo Piroli|arXiv (Cornell University)|2022. 07. 26.

Quantum many-body systems인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 매트릭스 곱 상태(MPS)에 대한 안정기저 레니 엔트로피(SRE)를 효율적으로 계산하는 방법을 제안한다. SRE는 비안정성(또는 '마법성')을 측정하는 척도이며, 연결 차수 χ가 증가한 MPS의 노름으로 SRE를 매핑함으로써, 시스템 크기 N에 대해 선형이고 χ에 대해 다항식 스케일링을 갖는 계산이 가능해져, 이징 체인과 같은 양자 다체계에서의 마법성에 대한 정확한 대규모 시뮬레이션을 가능하게 한다. 특히 임계점 근처에서는 국소 기저에 따라 비단조화적 행동을 보이며, 이는 임계성과의 관계를 밝혀낸다.

ABSTRACT

Nonstabilizerness, also known as magic, quantifies the number of non-Clifford operations needed in order to prepare a quantum state. As typical measures either involve minimization procedures or a computational cost exponential in the number of qubits $N$, it is notoriously hard to characterize for many-body states. In this work, we show that nonstabilizerness, as quantified by the recently introduced Stabilizer Rényi Entropies (SREs), can be computed efficiently for matrix product states (MPSs). Specifically, given an MPS of bond dimension $χ$ and integer Rényi index $n>1$, we show that the SRE can be expressed in terms of the norm of an MPS with bond dimension $χ^{2n}$. For translation-invariant states, this allows us to extract it from a single tensor, the transfer matrix, while for generic MPSs this construction yields a computational cost linear in $N$ and polynomial in $χ$. We exploit this observation to revisit the study of ground-state nonstabilizerness in the quantum Ising chain, providing accurate numerical results up to large system sizes. We analyze the SRE near criticality and investigate its dependence on the local computational basis, showing that it is in general not maximal at the critical point.

연구 동기 및 목표

• 시스템 크기 N에 대해 지수적 스케일링으로 인해 일반적으로 계산이 불가능한 다체 양자 상태의 비안정성 측정을 위한 효율적 방법 개발.
• 매트릭스 곱 상태(MPS)와 같은 일반적인 다체 상태에 대해 안정기저 레니 엔트로피(SRE)를 계산하는 데 도전하는 것.
• 정확한 대각화가 어려운 확장된 양자 시스템, 예를 들어 양자 이징 체인의 고에너지 상태에서의 마법성에 대한 정확한 수치적 연구를 가능하게 하는 것.
• 국소 계산 기저에 따른 마법성의 의존성과 양자 임계점 근처에서의 행동을 조사하는 것.

제안 방법

• n차 SRE는 모든 파울리 스트링에 대한 합으로 표현되며, 이는 연결 차수 χ^{2n}을 갖는 MPS의 노름으로 재구성된다.
• 이동 불변 MPS의 경우, SRE는 전이 행렬의 주요 고유값에서 추출되며, 단일 텐서 계산이 가능하다.
• 일반적인 MPS의 경우, SRE는 시스템 크기 N에 대해 선형 스케일링, 연결 차수 χ에 대해 다항식 스케일링을 갖는 텐서 네트워크 수축을 통해 계산된다.
• 완전한 행렬 구축을 피하기 위해, MPS 전이 행렬의 대칭 텐서 곱을 효율적으로 계산하기 위해 희소 전환 행렬 Q를 사용한다.
• 복제 기법과 수축 항등식을 활용하여 SRE를 노름 계산으로 매핑함으로써, 효율적인 수치 평가가 가능해진다.
• 작은 시스템에 대해 정확한 대각화와의 비교를 통해 수치적 검증을 수행하고, 연결 차수 χ 증가에 따른 수렴성을 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매트릭스 곱 상태(MPS)에 대해 시스템 크기 N에 대해 지수적 스케일링 없이도 안정기저 레니 엔트로피(SRE)를 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 양자 이징 체인의 고에너지 상태에서의 비안정성(마법성)은 임계점 근처에서 비단조화적인 행동을 보이는가?
• RQ3 SRE는 국소 계산 기저의 선택에 따라 어떻게 달라지며, 특히 양자 상전이 근처에서는 어떠한가?
• RQ4 SRE 밀도와 보조항은 국소 기저에 영향을 받지 않고 양자 임계성을 진단할 수 있는가?
• RQ5 SRE의 보조항 c_N은 임계점 근처에서 로그로 발산하는가? 그리고 열역학적 한계에서 임계장에 수렴하는가?

주요 결과

• 연결 차수 χ와 레니 지수 n > 1인 MPS에 대해 SRE는 시스템 크기 N에 대해 선형이고 χ에 대해 다항식 스케일링을 갖는 계산 비용으로 계산 가능하여 대규모 시뮬레이션을 가능하게 한다.
• 이동 불변 MPS의 경우, SRE는 전이 행렬의 주요 고유값에서 추출되어 단일 텐서 평가가 가능하다.
• 이징 모델에 대한 수치 결과는 SRE 밀도 m과 보조항 c_N이 연결 차수 χ 증가에 따라 수렴하며, 오차가 지수적으로 감소하는 것으로 나타났다.
• 모든 국소 기저에서 SRE 밀도 D_N가 임계장 h_c에서 최대가 되지 않아, 일반적으로 마법성이 임계점에서 최대가 되는 것은 아님을 시사한다.
• 보조항 c_N은 h_c 근처에서 극값을 보이며, 시스템 크기 N에 따라 로그 발산하는 경향을 보이며, 임계성 진단과 일치한다.
• c_N의 극값에 대한 h₀(N)의 다항식 피팅은 열역학적 한계에서 h_c = 1으로 수렴함을 시사하며, 이는 상전이 탐지에 있어 그 역할을 확인한다.