[논문 리뷰] Quantifying wall turbulence via a symmetry approach. Part I. A Lie group theory

Zhen-Su She, Xi Chen외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 29.

Fluid Dynamics and Turbulent Flows참고 문헌 35인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 벽에 둘러싸인 난류 유동에서 평균 속도 프로파일의 해석적 표현을 유도하기 위해 리 군 이론을 활용한 새로운 대칭 기반 접근법을 제시한다. 벽 효과를 나타내는 확대군에 대해 불변인 순서 함수(예: 응력 길이)를 식별함으로써, 세 가지 유형의 불변 해법—거듭제곱 법칙, 결함 거듭제곱 법칙, 전이 스케일링—을 유도하며, 이는 전체 유동 도메인에 대한 통합적이고 다층적인 기술을 가능하게 하며, 스케일링 지수, 층 두께, 전이 날카기 정도의 세 가지 핵심 매개변수를 포함한다. 이 이론은 DNS 데이터로 검증되었다.

ABSTRACT

First principle based prediction of mean flow quantities of wall-bounded turbulent flows (channel, pipe, and turbulent boundary layer - TBL) is of great importance from both physics and engineering standpoints. Here (Part I), we present a symmetry-based approach which derives analytic expressions governing the mean velocity profile (MVP) from an innovative Lie-group analysis. The new approach begins by identifying a set of order functions (e.g. stress length, shear-induced eddy length), in analogy with the order parameter in Landau's mean-field theory, which aims at capturing symmetry aspects of the fluctuations (e.g. Reynolds stress, dissipation). The order functions are assumed to satisfy a dilation group invariance - representing the effects of the wall on fluctuations - which allows us to postulate three new kinds of invariant solutions of the mean momentum equation (MME), focusing on group invariants of the order functions (rather than those of the mean velocity as done in previous studies). The first - a power law solution - gives functional forms for the viscous sublayer, the buffer layer, the log-layer, and a newly identified central `core' (for channel and pipe, but non-existent for TBL). The second - a defect power law of form $1-r^{m}$ ($r$ being the distance from the center line) - describes the `bulk zone' (the region of balance between production and dissipation). The third - a relation between the group invariants of the stress length function and its first derivative - describes scaling transition between adjacent layers. A combination of these three expressions yields a multi-layer formula covering the entire flow domain, identifying three important parameters: scaling exponent, layer thickness, and transition sharpness. All three kinds of invariant solutions are validated, individually and in combination, by data from direct numerical simulations (DNS).

연구 동기 및 목표

• 실험 모델에 의존하지 않고, 벽에 둘러싸인 난류 유동에서 평균 유동량을 예측할 수 있는 제1원리 이론을 개발하기 위해.
• 난류 유동에서 평균 양의 공간 분포를 지배하는 비평형 물리 원리를 규명하기 위해.
• 점성 서브층, 버퍼 층, 로그 법칙 영역, 채널/파이프의 코어 영역, 그리고 전체 영역을 대칭 기반 불변량을 통해 통합적으로 기술하기 위해.
• 제안된 불변 해법을 다양한 유동 구성에 걸쳐 직접 수치 시뮬레이션(DNS) 데이터와 비교하여 검증하기 위해.
• 후속 연구에서 거칠기, 압력 경사, 압축성과 같은 복잡한 효과의 보다 향상된 모델링과 보편 상수의 기초를 마련하기 위해.

제안 방법

• 난류 변동의 대칭 특성을 기록하기 위해 랑도의 질서 매개변수와 유사한 질서 함수(예: 응력 길이, 전단 유도 엣지 길이)를 도입하여 유체의 대칭성을 기반으로 한 분석을 수행한다.
• 이러한 질서 함수에서 확대군 불변성을 식별함으로써 벽의 난류에 대한 영향을 수학적으로 기술한다.
• 군 불변량에서 유도된 세 가지 유형의 불변 해법을 도출한다: (1) 점성 서브층, 버퍼 층, 로그 영역 및 채널 및 파이프 유동에서 새로이 규명된 코어 영역에 대한 거듭제곱 법칙; (2) 브러시 영역에 적합한 형태의 결함 거듭제곱 법칙 $1 - r^m$; (3) 응력 길이 함수와 그 일阶 도함수의 군 불변량 간의 관계를 통해 스케일링 전이를 기술한다.
• 세 가지 불변 해법을 조합하여 스케일링 지수, 층 두께, 전이 날카기 정도로 매개변수화된 다층 분석 공식을 구성한다.
• 확장된 특성 방정식과 무한소 생성자(Infinitesimal generators)를 사용하여 기초가 되는 편미분 방정식에서 대칭 변환과 군 불변량을 체계적으로 유도한다.
• 채널 및 파이프 유동에 대한 고정밀 직접 수치 시뮬레이션(DNS) 데이터를 활용하여 각 불변 해법을 개별적으로, 그리고 조합적으로 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리 군 이론을 활용한 대칭 기반 접근법이 실험적 가정 없이도 벽에 둘러싸인 난류 유동에서 평균 속도 프로파일에 대한 해석적 표현을 도출할 수 있는가?
• RQ2 난류 변동에서 질서 함수의 확대군 불변성에서 도출된 기본 불변 해법은 무엇인가?
• RQ3 유도된 불변 해법—거듭제곱 법칙, 결함 거듭제곱 법칙, 전이 관계—는 전체 유동 도메인에 걸쳐 벽에 둘러싸인 난류의 다층적 구조를 어떻게 기술하는가?
• RQ4 이 세 가지 불변 해법의 조합이 다양한 레이놀즈 수와 유동 기하학에서 평균 속도 프로파일을 정확하게 표현할 수 있는가?
• RQ5 응력 길이 함수의 군 불변량과 그 도함수의 군 불변량 간의 관계는 인접한 난류 층 간의 전이를 모델링하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 대칭 기반 접근법은 성공적으로 세 가지 다른 불변 해법을 도출하였다: 점성 서브층, 버퍼 층, 로그 영역 및 채널 및 파이프 유동에서 새로이 규명된 코어 영역에 대한 거듭제곱 법칙.
• 형태 $1 - r^m$ 의 결함 거듭제곱 법칙은 난류 생성과 소산이 균형을 이루는 브러시 영역을 정확히 기술한다.
• 인접한 층 간의 전이는 응력 길이 함수와 그 일阶 도함수의 군 불변량 간의 관계에 의해 지배되며, 이는 스케일링 전이의 정밀한 모델링을 가능하게 한다.
• 세 가지 불변 해법의 조합은 스케일링 지수, 층 두께, 전이 날카기 정도의 세 가지 핵심 매개변수로 구성된 종합적인 다층 공식을 제공하여 전체 유동 도메인을 커버한다.
• 모든 세 가지 유형의 불변 해법은 개별적으로도, 조합적으로도 직접 수치 시뮬레이션(DNS) 데이터를 통해 검증되었으며, 정확성과 일관성이 확인되었다.
• 이 이론은 향후 제2부에서 보여지듯이, 고레이놀즈 수에서 진정한 카르만 상수로 수렴하는 보편 브러시 유량 상수 0.45를 규명하는 기초를 제공한다.