[논문 리뷰] Quantiles Equivariance

Reza Hosseini|arXiv (Cornell University)|2010. 04. 04.

Advanced Multi-Objective Optimization Algorithms참고 문헌 3인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 증가하는 변환에 대해 분위수 함수가 동치임을 널리 믿고 있는 믿음을 도전하며, 엄격하게 증가하는 함수조차도 실패할 수 있음을 반례를 통해 보여준다. 좌측 분위수 함수는 좌측 연속 비감소 변환에 대해 동치임을 입증하고, 대칭 정리와 함께 우측 분위수 함수 및 감소하는 변환에 대해 유사한 결과를 도출한다. 또한, 점별 수렴이 발생할 수 있음에도 불구하고 변환된 분위수는 확률적으로 동치임을 보여준다.

ABSTRACT

It is widely claimed that the quantile function is equivariant under increasing transformations. We show by a counterexample that this is not true (even for strictly increasing transformations). However, we show that the quantile function is equivariant under left continuous increasing transformations. We also provide an equivariance relation for continuous decreasing transformations. In the case that the transformation is not continuous, we show that while the transformed quantile at p can be arbitrarily far from the quantile of the transformed at p (in terms of absolute difference), the probability mass between the two is zero. We also show by an example that weighted definition of the median is not equivariant under even strictly increasing continuous transformations.

연구 동기 및 목표

• 단조성 변환에 대해 분위수 함수가 동치임을 일반적으로 주장하는 것을 도전하기 위해.
• 특히 변환의 연속성과 단조성에 관해 분위수 동치성이 성립하는 정확한 조건을 규명하기 위해.
• 연속적인 엄격하게 증가하는 변환 하에서 가중 분위수 정의(예: 중앙값)의 모순을 해결하기 위해.
• 비연속 및 감소하는 변환 하에서 분위수 동치성에 대한 이론적 프레임워크를 수립하기 위해.

제안 방법

• 좌측 분위수 함수 $ lq_X(p) = \inf\{x \mid F(x) \geq p\} $ 와 우측 분위수 함수 $ rq_X(p) = \inf\{x \mid F(x) > p\} $ 를 상호 보완적인 정의로 사용한다.
• 분위수 값의 유일성과 성질을 증명하기 위해 분위수 값 기준 레미마를 적용한다.
• 변환에 대한 역상 행동을 분석하기 위해 $ \phi^\leq(y) = \{x \mid \phi(x) \leq y\} $ 와 $ \phi^\star(y) = \sup \phi^\leq(y) $ 를 도입한다.
• 좌측 연속 비감소 $ \phi $ 는 $ lq_{\phi(X)}(p) = \phi(lq_X(p)) $ 를 만족함을 증명한다. 우측 연속 $ \phi $ 는 $ rq_{\phi(X)}(p) = \phi(rq_X(p)) $ 를 만족한다.
• 분위수 대칭 정리 $ lq_X(p) = -rq_{-X}(1-p) $ 를 사용하여 감소하지 않는 변환에 대한 동치성을 도출한다.
• 비연속 케이스를 분석하기 위해 $ \phi(lq_X(p)) \in [lq_Y(p), rq_Y(p)] $ 를 보여주며, 이는 점별 수렴이 발생할 수 있음에도 불구하고 확률 질량의 차이가 없음을 암시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적으로 주장하는 바와 같이, 엄격하게 증가하는 변환에 대해 분위수 함수가 진정으로 동치일까?
• RQ2 어떤 조건에서 $ \phi $ 가 $ lq_{\phi(X)}(p) = \phi(lq_X(p)) $ 를 만족하는가?
• RQ3 비연속 또는 비연속적인 변환 하에서 분위수 동치성은 어떻게 행동하는가?
• RQ4 감소하는 변환에 대해 동치성이 유지될 수 있으며, 만약 그렇다면 어떤 연속성 가정 하에서 가능한가?
• RQ5 비연속 $ \phi $ 에 대해 $ \phi(lq_X(p)) $ 와 $ lq_{\phi(X)}(p) $ 사이의 확률적 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 반례를 통해 엄격하게 증가하는 변환조차도 분위수 동치성을 유지하지 못함을 보여준다: $ X \sim U[0,1] $ 이고, $ \phi(x) = x $ for $ x < 1/2 $, $ \phi(x) = x+5 $ for $ x \geq 1/2 $ 이면 $ lq_T(1/2) = 1/2 \neq \phi(1/2) = 5.5 $ 이다.
• 좌측 분위수 함수는 좌측 연속 비감소 변환에 대해 동치이다: $ lq_{\phi(X)}(p) = \phi(lq_X(p)) $.
• 우측 분위수 함수는 우측 연속 비감소 변환에 대해 동치이다: $ rq_{\phi(X)}(p) = \phi(rq_X(p)) $.
• 비증가하는 우측 연속 $ \phi $ 에 대해 $ lq_{\phi(X)}(p) = \phi(rq_X(1-p)) $ 이고, 비증가하는 좌측 연속 $ \phi $ 는 $ rq_{\phi(X)}(p) = \phi(lq_X(1-p)) $ 를 만족한다.
• 비연속일 경우 $ \phi(lq_X(p)) $ 와 $ lq_{\phi(X)}(p) $ 는 동일한 간격 $ [lq_Y(p), rq_Y(p)] $ 내에 있으므로, 그 사이의 확률 질량은 0이다.
• 가중 중앙값 정의(예: 중앙 두 값의 평균)는 연속적인 엄격하게 증가하는 변환 하에서 동치가 아니며, 지진 강도 데이터에 대한 반례로 이를 보여주었다.