[논문 리뷰] Quantisation of derived Poisson structures

J. P. Pridham|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 01.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 25인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 근본적 코탄제이트 복합체를 가진 유도 아르틴 $n$-스택 위의 $0$-시프트된 파울슨 구조에 대해 곡선형 $A_{u}$-변형 양자화의 존재성을 증명한다. 이는 호크스하우드 복합체 위의 반대입술적 구조와 $E_2$-오페라드의 형식성에 기반한 짝수 연결자(associator)를 통해 이루어지며, 주요 결과는 콘테비치의 양자화를 특이적이고 유도된 설정으로 일반화한 것이다. 이는 LCI 특이성을 가진 스킴과 $\mathcal{C}^u$ 및 해석적 스택을 포함한다.

ABSTRACT

We prove that every $0$-shifted Poisson structure on a derived Artin $n$-stack admits a curved $A_{\infty}$ deformation quantisation whenever the stack has perfect cotangent complex; in particular, this applies to LCI schemes, where it gives a DQ algebroid quantisation. Whereas the Kontsevich--Tamarkin approach to quantisation for smooth varieties hinges on invariance of the Hochschild complex under affine transformations, we instead exploit the observation that the Hochschild complex carries an anti-involution, and that such anti-involutive deformations of the complex of polyvectors are essentially unique. We also establish analogous statements for deformation quantisations in $\mathcal{C}^{\infty}$ and analytic settings.

연구 동기 및 목표

• 부드러운 다양체를 초월하여 특이적이고 유도된 대수적 스택으로의 변형 양자화를 확장하는 것.
• 근본적 코탄제이트 복합체를 가진 유도 아르틴 스택 위의 $0$-시프트된 파울슨 구조에 대한 오랜 동안 미해결된 문제인 양자화 문제를 해결하는 것.
• 유사한 양자화 결과를 $\mathcal{C}^\infty$ 및 해석적 설정에서 확보하는 것.
• LCI 스킴과 더 일반적인 유도 스택로의 DQ 알제브로이드 양자화를 일반화하는 것.
• 호크스하우드 복합체와 다중벡터 복합체의 반대입술적 변형을 통한 통일된 양자화 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• CDGA의 호크스하우드 복합체 위에 반대대칭 구조를 도입하며, 이는 반대 대수 함자에 의해 유도된다.
• 짝수 연결자를 통한 $E_2$-오페라드의 형식성에 기반해 다중미분의 $P_2$-대수의 반대입술적 변형을 구성한다.
• 다중벡터 복합체와 다중미분 복합체가 준위상동형일 경우 이러한 반대입술적 변형의 본질적 유일성을 확립한다.
• 아르틴 스택의 다중벡터와 호크스하우드 복합체를 정의하기 위해 이중 복합체의 테이트 실현을 사용한다.
• 전체화 함수자(factorisation)를 제어하고 스택 구조에서의 입술적 변형을 제어하기 위해 중간 범주를 도입한다.
• 에탈레 함자성과 호모토피 극한을 적용하여 국소적 양자화를 완전 복합체의 $A_{\infty}$-변형으로 전역화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 근본적 코탄제이트 복합체를 가진 유도 아르틴 $n$-스택 위의 모든 $0$-시프트된 파울슨 구조는 곡선형 $A_{\infty}$-변형 양자화를 갖는가?
• RQ2 콘테비치–타마린의 양자화 접근법은 특이적이고 유도된 대수적 스택으로 확장 가능한가?
• RQ3 유사한 양자화 결과가 이러한 스택에 대해 $\mathcal{C}^\infty$ 및 해석적 설정에서 존재하는가?
• RQ4 다중벡터 복합체와 다중미분 복합체가 준위상동형인 경우 호크스하우드 복합체의 반대입술적 변형은 본질적으로 유일한가?
• RQ5 동일한 조건 하에 유도 아르틴 스택의 사상 위의 $1$-시프트된 코이소트로피크 구조는 양자화 가능한가?

주요 결과

• 근본적 코탄제이트 복합체를 가진 유도 아르틴 $n$-스택 위의 모든 $0$-시프트된 파울슨 구조는 짝수 연결자를 통한 곡선형 $A_{\infty}$-변형 양자화를 갖는다.
• 이 구성은 $0$-시프트된 파울슨 구조의 공간에서 자기쌍대성 $E_1$-양자화의 공간으로의 사상으로 이어진다.
• LCI 스킴의 경우 결과는 DQ 알제브로이드 양자화를 복원하며, 이는 이전의 부드러운 다양체 결과를 확장한다.
• 양자화는 완전 복합체의 dg 범주 위에서 쌍대성 함자 $\mathscr{H}\!\mathit{om}_{\mathscr{O}_{\mathfrak{X}}}(-,\mathscr{O}_{\mathfrak{X}})$에 대해 $\hbar$-반선형 반대입술적 성질을 갖는다.
• 이 방법은 근본적 코탄제이트 복합체를 가진 유도 $\mathcal{C}^\infty$ 및 해석적 아르틴 $n$-스택에 대해 그대로 적용 가능하다.
• $1$-시프트된 코이소트로피크 양자화의 증명은 동일한 근본적 코탄제이트 복합체 조건 하에 유도 아르틴 스택의 사상으로까지 확장된다.