[논문 리뷰] Quantitative approximation of the Burgers and Keller-Segel equations by moderately interacting particles

Christian Olivera, Alexandre Richard외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 07.

Mathematical Biology Tumor Growth참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 특이적이고 국소적으로 적분 가능하지 않은 커널을 갖는 점성 버거스 및 켈러-세겔 방정식을 근사하는 스토하스틱 입자계의 수렴 속도를 정량적으로 확립한다. 미세화된 경험 측도와 온화한 해법 표현을 사용하여, 버거스 방정식의 경우 $N^{-1/6}$, 켈러-세겔 방정식의 경우 $N^{-1/(2(d+1))}$의 속도로 베셀 공간과 $L^q$ 공간에서 거의 확실히 수렴함을 증명하며, 이는 최대 PDE 존재 시간까지 유효하다.

ABSTRACT

In this work we obtain rates of convergence for two moderately interacting stochastic particle systems with singular kernels associated to the viscous Burgers and Keller-Segel equations. The main novelty of this work is to consider a non-locally integrable kernel. Namely for the viscous Burgers equation in $\mathbb{R}$, we obtain almost sure convergence of the mollified empirical measure to the solution of the PDE in some Bessel space with a rate of convergence of order $N^{-1/6}$, on any time interval. With the same rate, convergence also holds for the genuine empirical measure in Wasserstein distance, and at the level of the trajectories of the particles with the standard coupling to McKean-Vlasov particles. In the case of the Keller-Segel equation on a $d$-dimensional torus, we obtain almost sure convergence of the mollified empirical measure to the solution of the PDE in some $L^q$ space with a rate of order $N^{-\frac{1}{2(d+1)}}$. The result holds up to the maximal existence time of the PDE, for any value of the chemo-attractant sensitivity $χ$.

연구 동기 및 목표

• 특이적이고 국소적으로 적분 가능하지 않은 상호작용 커널을 갖는 중간 상호작용 입자계가 점성 버거스 및 켈러-세겔 방정식을 근사할 때의 정량적 수렴 속도를 제공하는 것.
• 미세화된 경험 측도가 각각 베셀 공간과 $L^q$ 공간에서 PDE 해로 거의 확실히 수렴함을 증명하고, 명시적인 수렴 속도를 확보하는 것.
• 미세화된 및 비미세화된 경험 측도의 수렴을 분석하며, 매킨-플라소프로의 커플링을 통한 입자 궤적을 포함하는 것.
• 온화한 해법 표현을 통해 비선형성과 스토하스틱 콘볼루션 적분의 도전 과제를 극복하기 위해 바하리 부등식과 BDG 유형 추정을 사용하는 것.
• 베셀 노름에서 i.i.d. 표본에 의한 초기 밀도의 근사화를 정량화하여, 독립적으로 관심 있는 일반 결과를 도출하는 것.

제안 방법

• 상호작용 커널 $K$를 사용하여 입자계를 확률적 미분방정식으로 공식화하며, 스케일링 $V^N(x) = N^{d\alpha}V(N^\alpha x)$를 통한 미세화 커널 $V^N$을 사용한다. 여기서 $\alpha \in (0,1]$이다.
• PDE의 온화한 해법 표현을 사용하여 해를 비선형 및 스토하스틱 콘볼루션 항을 포함한 준군 진화로 표현한다.
• 차이 $u - u^N$의 비선형 제곱항을 제어하기 위해 바하리 부등식을 적용하여, 랜덤 시간 영역 문제에도 불구하고 전 시간에 걸쳐 수렴을 가능하게 한다.
• 무한차원 마틴갈에 대한 BDG 부등식(보조정리 A.3)을 사용하여, 베셀 공간 $H^\beta_p$에서 스토하스틱 콘볼루션 적분을 추정한다.
• 오차를 편향(미세화)과 분산(경험 측도 변동)으로 분해하고, 각각을 컨볼루션 부등식과 모멘트 추정을 통해 추정한다.
• 소볼레프 임bedding과 공간에서의 허더 연속성을 활용하여 $u^N$의 전역적인 균일한 정규성을 확보하며, 이는 수렴 분석에 핵심적이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 디랙 커널을 갖는 점성 버거스 방정식을 근사하는 중간 상호작용 입자계의 미세화된 경험 측도에 대해 최적의 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 비미세화된 경험 측도의 워샤르슈타인 거리에서 동일한 수렴 속도를 달성할 수 있으며, 이는 입자 궤적으로까지 확장되는가?
• RQ3 토러스 상의 켈러-세겔 모델에서 수렴 속도는 차원 $d$와 커널의 특이성에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ4 베셀 노름에서 초기 조건 근사의 수렴 속도는 최적이며, 전체 입자계 수렴에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 큰 화학유인 감도 $\chi$에 대해서도 드리프트에 커프트를 적용하지 않고도 수렴을 확립할 수 있는가?

주요 결과

• 실수선 $\mathbb{R}$ 상의 점성 버거스 방정식에 대해, 미세화된 경험 측도 $u^N$은 $[0,T]$ 상에서 시간에 대해 균일하게 베셀 공간 $H^\beta_p(\mathbb{R})$에서 PDE 해 $u$로 거의 확실히 수렴하며, 속도는 $N^{-1/6 + \varepsilon}$ ($\varepsilon > 0$)이다.
• 비미세화된 경험 측도 $\mu^N$에 대해서도 워샤르슈타인 거리에서 동일한 수렴 속도 $N^{-1/6 + \varepsilon}$가 성립하며, 이는 정량적 혼돈 전파를 증명한다.
• 입자계의 궤적 수렴이 매킨-플라소프 과정으로 증명되며, 이는 경로 공간에서 경험 측도의 수렴을 의미한다.
• $\mathbb{T}^d$, $d \geq 2$ 상의 켈러-세겔 방정식에 대해, 미세화된 경험 측도는 $L^q(\mathbb{T}^d)$에서 거의 확실히 수렴하며, 속도는 $N^{-1/(2(d+1)) + \varepsilon}$이다. 이는 PDE의 최대 존재 시간까지 유효하다.
• 속도 $N^{-1/(2(d+1))}$는 기존 결과와 일치하지만, 드리프트 커프트 없이 도달되었으며, 미약한 조건 하에서 초기 조건 근사 속도가 최소 $N^{-1/(2(d+1))}$임을 입증하였다.
• 부록 B에서 일반 결과를 도출하였다: 밀도 $u_0$와 그 i.i.d. 표본 기반으로 스무딩된 경험 측도 간의 Bessel 노름 오차의 $m$-번째 모멘트는 $N^{-\alpha(\beta' - \beta)} + N^{\alpha\beta + d\alpha(1 - 2/m) - 1/2}$로 유계이며, 이는 Bessel 노름에서의 밀도 근사화를 정량화한다.