[논문 리뷰] Quantitative Harris type theorems for diffusions and McKean-Vlasov processes

Andreas Eberle, Arnaud Guillin외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 20.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 57인용 수 131

한 줄 요약

The paper provides quantitative Harris-type contraction results for diffusions and McKean–Vlasov diffusions using Lyapunov functions and reflection coupling, yielding explicit Kantorovich contraction rates and several corollaries (ergodic bounds, gradient bounds, and sub-geometric results).

ABSTRACT

We consider $\\mathbb{R}^d$-valued diffusion processes of type \\begin{align*} dX_t\\ =\\ b(X_t)dt\\, +\\, dB_t. \\end{align*} Assuming a geometric drift condition, we establish contractions of the transitions kernels in Kantorovich ($L^1$ Wasserstein) distances with explicit constants. Our results are in the spirit of Hairer and Mattingly's extension of Harris' Theorem. In particular, they do not rely on a small set condition. Instead we combine Lyapunov functions with reflection coupling and concave distance functions. We retrieve constants that are explicit in parameters which can be computed with little effort from one-sided Lipschitz conditions for the drift coefficient and the growth of a chosen Lyapunov function. Consequences include exponential convergence in weighted total variation norms, gradient bounds, bounds for ergodic averages, and Kantorovich contractions for nonlinear McKean-Vlasov diffusions in the case of sufficiently weak but not necessarily bounded nonlinearities. We also establish quantitative bounds for sub-geometric ergodicity assuming a sub-geometric drift condition.

연구 동기 및 목표

• 확산의 수렴을 평형으로 끌어올리는 것을 small-set 조건을 넘어서 정량적으로 제어하려는 동기를 제시한다.
• Lyapunov 드리프트 및 reflection coupling을 사용하여 명시적 Kantorovich 수축 경계를 개발한다.
• 가중 총변 정도에서의 지수적 수렴, 그래디언트 한계, ergodic 평균과 같은 결과를 도출한다.
• 약하지만 반드시 유계하지 않은 비선형성을 갖는 McKean–Vlasov 확산에 대해 프레임워크를 확장한다.
• sub-geometric 드리프트 조건하에서 sub-geometric ergodicity 결과를 제공한다.

제안 방법

• drift에 대한 일반화된 한쪽 Lipschitz 조건과 Lyapunov 드리프트 조건을 함께 활용한다.
• 드리프트 및 Lyapunov 함수에 맞춘 additive 및 multiplicative Kantorovich (Wasserstein) 거리를 구성한다.
• 반사 커플링과 오목한 거리 함수들을 사용하여 W_rho 지표에서의 수축을 얻는다.
• Kantorovich 수축을 특징짓는 명시적 수축 속도 c와 함수 f를 도출한다.
• McKean–Vlasov 확산에 접근법을 확장하고 비선형 평균장 상호작용을 분석한다.
• sub-geometric 드리프트 조건을 고려하여 sub-geometric ergodicity 결과를 얻는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 작은 집합 조건 없이 기하학적 드리프트를 갖는 확산에 대해 Kantorovich 거리에서 명시적 수축 속도를 얻을 수 있는가?
• RQ2 Lyapunov 함수와 맞춤 매트릭이 확산 세미그룹에 대해 정량적 Harris-type 경계치를 어떻게 제시할 수 있는가?
• RQ3 이러한 수축 결과가 ergodic 평균, 그래디언트 한계, 그리고 균형점으로의 수렴에 어떤 결과를 가져오는가?
• RQ4 약한 비선형성을 갖는 비선형 (McKean–Vlasov) 확산으로 프레임워크를 확장할 수 있는가?
• RQ5 sub-geometric drift 조건하에서 수축 결과에 어떤 일이 일어나는가?

주요 결과

• 기하학적 드리프트를 갖는 확산에서 명시적 상수와 함께 Kantorovich 거리의 수축.
• 전이 세트에 대한 가중된 total variation 노름에서의 지수적 수렴 및 그래디언트 한계.
• ergodic 평균 및 유한 시간 혼합 속도에 대한 정량적 경계.
• 충분히 약한 비선형성을 가진 비선형 McKean–Vlasov 확산에 대한 수축 결과의 확장.
• sub-geometric drift 조건하에서 sub-geometric ergodicity 결과의 제공.