[논문 리뷰] Quantitative Reifenberg theorem for measures

Nick Edelen, Aaron Naber외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 23.

Advanced Topology and Set Theory인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 밀도 또는 아흐르스-정규성 가정 없이 일반적인 음이 아닌 보렐 측도에 대해 $ \mathds{R}^n$ 에서 정량적 리프엔베르그 정리를 수립한다. $ \beta_2$ -수를 사용하여 측도와 직선성에 대한 제어를 한다. $k$-직선성 집합에서 멀리 떨어진 집합의 측도에 대해 효과적인 경계를 제공하며, 모든 척도에서 $ \beta_2$ -추정이 성립할 경우 약간의 조건 하에 직선성과 상한 아흐르스-정규성의 성립을 증명한다.

ABSTRACT

We study generalizations of Reifenberg's Theorem for measures in $\mathbb R^n$ under assumptions on the Jones' $β$-numbers, which appropriately measure how close the support is to being contained in a subspace. Our main results, which holds for general measures without density assumptions, give effective measure bounds on $μ$ away from a closed $k$-rectifiable set with bounded Hausdorff measure. We show examples to see the sharpness of our results. Under further density assumptions one can translate this into a global measure bound and $k$-rectifiable structure for $μ$. Applications include quantitative Reifenberg theorems on sets and discrete measures, as well as upper Ahlfor's regularity estimates on measures which satisfy $β$-number estimates on all scales.

연구 동기 및 목표

• 아흐르스-정규성 또는 밀도 경계를 요구하지 않고 리프엔베르그 정리를 일반 측도로 확장하기 위해.
• 모든 척도에서 $k$-평면에 의해 측도가 얼마나 잘 근사되는지 평가하기 위해 $\beta_2$-수를 사용하여 정량화하기 위해.
• 측도가 $k$-평면에 잘 근사되지 않는 부분에 대해 효과적인 측도 및 패킹 경계를 수립하기 위해.
• 모든 척도에서 $ \beta_2$ -추정이 성립할 경우 약간의 조건 하에 $k$-직선성과 상한 아흐르스-정규성의 성립을 증명하기 위해.
• 가정 조건의 필수성과 경계의 최적성에 대한 날카로운 예를 제시하기 위해.

제안 방법

• 측도 공간을 $\beta_2$-수에 기반한 '좋은' 및 '나쁜' 큐브로 이진 분해하기.
• 기울임 조절과 패킹 제어를 사용하여 측도가 $k$-평면에 잘 근사되는 양호한 큐브의 나무 구조를 구성하기.
• 일관된 근사 보장을 위해 일반화된 질량 중심과 기울임 제어를 적용하기.
• 덮개 논증과 패킹 추정을 사용하여 근사 실패가 발생하는 '나쁜' 집합의 측도를 경계하기.
• 좋은 나무의 구조와 $\beta_2$-추정을 기반으로 측도를 직선성, 영집합, 초과 부분으로 분해하기.
• 기하측도이론의 정리들을 적용하여 $\beta_2$-합성 가능 조건으로부터 직선성과 상한 아흐르스-정규성을 도출하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 밀도 가정 없이 $\beta_2$-수 추정에 기반하여 일반 측도에 대해 효과적인 측도 경계를 확보할 수 있는가?
• RQ2 측도 경계의 날카로운 의존성은 $\beta_2$-합성 가능 상수와 근사 매개변수 $\epsilon$ 에 대해 어떻게 되는가?
• RQ3 모든 척도에서 $\beta_2$-추정이 성립할 경우 어떤 조건에서 측도의 $k$-직선성이 보장되는가?
• RQ4 하한 또는 상한 아흐르스-정규성 조건이 없을 경우 결과는 어떻게 행동하는가?
• RQ5 결과는 이산 측도와 집합으로 확장될 수 있으며, 이 경우에 대한 날카로운 예는 무엇인가?

주요 결과

• 모든 보렐 측도 $\mu$에 대해 $\mathds{R}^n$ 에서 $\int_0^1 \beta^k_{\mu,2}(x,r)^2 \frac{dr}{r} \leq M$ 이 모든 $x$에 대해 일관되게 성립할 경우, $\mu$ 는 소량의 측도를 제외한 나머지 부분에서 $k$-직선성이 성립한다.
• 측도의 $k$-평면에 잘 근사되지 않는 부분의 측도는 $c(n)(\epsilon + M)$ 으로 경계지어지며, 여기서 $\epsilon$ 은 근사 오차를 제어한다.
• $k$-직선성 부분은 열린 집합에서 $\mathcal{H}^k \llcorner \mathcal{K}_0 \leq c(k)\epsilon^{-1} \mu$ 를 만족하여, 직선성 부분에 대한 정량적 제어를 제공한다.
• 만약 $\mu$ 가 모든 척도에서 $\beta_2$-추정을 만족할 경우, $\mu(B_r(x)) \leq c(n)(1 + M/\epsilon)r^k$ 를 만족하여, 영집합을 제외한 나머지 부분에서 상한 아흐르스-정규성이 성립한다.
• $\beta_2$-추정은 거의 모든 $x$ 에서 상한 밀도 $\Theta^{*,k}(\mu,x) \leq 1$ 이 성립함을 암시하며, 이는 직선성에 도달하는 데 핵심적인 단계이다.
• 결과는 날카롭다: 예시들은 추가 가정 없이도 경계를 개선할 수 없음을 보여주며, 밀도 경계가 없을 경우에도 마찬가지다.