[논문 리뷰] Quantum Algorithms for Optimization and Polynomial Systems Solving over Finite Fields.

Yu-Ao Chen, Xiao-Shan Gao외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 12.

Coding theory and cryptography인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 입력 크기와 조건 수치에 대해 다항식 시간 복잡도를 가지며, 조건 수치가 작을 경우 지수적 속도 향상을 달성하는 유한체 상의 다항식 시스템과 최적화 문제를 해결하기 위한 양자 알고리즘을 제시한다. 핵심 혁신은 유한체 문제를 복소수 위에서 부울 해를 찾는 문제로 환원하면서도 희소성과 변수 수를 유지하는 데 있다.

ABSTRACT

In this paper, we give quantum algorithms for two fundamental computation problems: solving polynomial systems and optimization over finite fields. The quantum algorithms can solve these problems with any given probability and have complexities polynomial in the size of the input and the condition number of certain polynomial system related to the problem. So, we achieved exponential speedup for these problems when their condition numbers are small. As special cases of the optimization problem, quantum algorithms are given for the polynomial systems with noise, the short integer solution problem, cryptanalysis for the lattice based NTRU cryptosystems. The main technical contribution of the paper is how to reduce polynomial system solving and optimization over finite fields into the determination of Boolean solutions of a polynomial system over C, under the condition that the number of variables and the total sparseness of the new system is well controlled.

연구 동기 및 목표

• 유한체 상의 다항식 시스템과 최적화 문제를 효율적으로 해결하기 위한 양자 알고리즘 개발.
• 이러한 문제의 조건 수치가 작을 경우 지수적 속도 향상을 달성하기 위해.
• 단축 정수 해 문제 및 NTRU 암호 분석과 같은 실용적 암호학적 과제 해결.
• 유한체 계산을 변수 수와 희소성의 제어된 범위 내에서 복소수 위의 부울 해 찾기로 환원하기 위해.
• 노이즈가 있는 다항식 시스템과 격자 기반 암호 분석에 대한 양자적 해법 제공.

제안 방법

• 유한체 상의 다항식 시스템을 변수 수와 희소성이 제어된 복소수 위의 등가 시스템으로 환원하기 위해.
• 최적화 및 시스템 해법 작업을 복소수 위의 다항식 시스템에 대한 부울 해 결정 문제로 변환하기 위해.
• 입력 크기와 조건 수치에 대해 다항식 복잡도를 가지는 복소수 위의 다항식 시스템 해법을 위한 양자 알고리즘 활용하기 위해.
• 새로운 시스템의 총 희소성과 변수 수가 원래 문제 크기의 다항식 범위 내에 유지되도록 보장하기 위해.
• 고확률 해를 달성하기 위해 양자 강화 및 강도 추정 기법 사용하기 위해.
• 특수 케이스인 노이즈가 있는 시스템과 NTRU와 같은 격자 기반 암호체계에 대해 환원 기법 적용하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 입력 크기와 조건 수치에 대해 다항식 복잡도를 가지는 양자 알고리즘이 유한체 상의 다항식 시스템을 해결할 수 있는가?
• RQ2 조건 수치가 작을 경우, 유한체 상의 최적화 및 시스템 해법에 대해 달성 가능한 속도 향상은 무엇인가?
• RQ3 변수 수나 희소성의 과도한 증가 없이, 유한체 문제를 복소수 위의 부울 해 찾기로 환원할 수 있는가?
• RQ4 제안된 방법은 단축 정수 해 문제와 같은 암호 분석 과제에 적용 가능한가?
• RQ5 노이즈가 있는 다항식 시스템은 얼마나 효율적으로 양자 방법을 통해 해결할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 양자 알고리즘은 입력 크기와 조건 수치에 대해 다항식 복잡도를 가지며, 유한체 상의 다항식 시스템과 최적화 문제를 해결한다.
• 관련 다항식 시스템의 조건 수치가 작을 경우 지수적 속도 향상을 달성한다.
• 복소수 위의 부울 해로의 환원 과정에서 희소성과 변수 수가 다항식 범위 내에서 유지된다.
• 특수 케이스로서 단축 정수 해 문제에 대해 효율적인 양자적 해법을 제공한다.
• NTRU 암호체계와 같은 격자 기반 암호 분석을 다항식 시스템으로 변환함으로써 해법을 가능하게 한다.
• 노이즈가 있는 다항식 시스템에도 적용 가능하여 실제 데이터에서의 오차가 있는 상황까지의 활용도를 확장한다.