[논문 리뷰] Quantum Chains of Hopf Algebras with Order-Disorder Fields and Quantum Double Symmetry

Florian Nill, Kornél Szlachányi|ArXiv.org|1995. 07. 31.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한차원 C*-호프 대수 H와 그 이중 H*의 교차곱을 이용하여 양자 스핀 체인 대수를 구성하며, 순서 및 무질서 대칭을 도입한다. DHR 섹터가 Drinfeld 이중 D(H)에 의해 분류됨을 증명하고, 완전하고 기약적이며 이동 불변인 장 대수 확장이 D(H) ⊗ D(H)의 2-코호몰로지 클래스에 의해 대응됨을 보이며, 양자 이중 이론에 뿌리를 둔 대칭 구조를 수립한다.

ABSTRACT

Given a finite dimensional C-*-Hopf algebra H and its dual H^ we construct the infinite crossed product A=... x H x H^ x H x ... and study its representations. A is the observable algebra of a generalized spin model with H-order and H^-disorder symmetries. By pointing out that A possesses a certain compressibility property we can classify all DHR-sectors of A --- relative to some Haag dual vacuum representation --- and prove that their symmetry is described by the Drinfeld double D(H). Complete, irreducible, translation covariant field algebra extensions F > A are shown to be in one-to-one correspondence with cohomology classes of 2-cocycles u in D(H) @ D(H).

연구 동기 및 목표

• 유한차원 C*-호프 대수 H와 그 이중 H*의 교차곱 대수를 이용하여 H-순서 및 H^-무질서 대칭을 동시에 포함하는 양자 스핀 체인 모델을 구축한다.
• Haag 쌍대 진공 표현에 대해 관측 대수 A = ... × H × H^ × H × ... 의 DHR 섹터를 분류한다.
• 이러한 섹터의 대칭성이 Drinfeld 이중 D(H)에 의해 기술됨을 확립한다.
• 완전하고 기약적이며 이동 불변인 장 대수 확장 F > A 전부를 D(H) ⊗ D(H)의 2-코호몰로지 클래스의 형태로 특성화한다.
• 관측 대수의 압축성 성질을 보여주어 초선택 섹터의 분류를 가능하게 한다.

제안 방법

• 유한차원 C*-호프 대수 H와 그 이중 H^으로부터 무한 교차곱 대수 A = ... × H × H^ × H × ... 를 구성한다.
• DHR 체계를 사용하여 Haag 쌍대 진공 표현에 대한 A의 초선택 섹터를 분석한다.
• A의 압축성 성질을 활용하여 모든 DHR 섹터를 분류하며, 이들이 Drinfeld 이중 D(H)의 기약 표현과 일대일 대응됨을 보인다.
• 완전하고 기약적이며 이동 불변인 장 대수 확장 F > A와 D(H) ⊗ D(H)의 2-코호몰로지 클래스 사이의 일대일 대응을 확립한다.
• 특히 양자 이중과 교차곱의 구조를 다루는 연산자 대수학 및 호프 대수학 기법을 적용한다.
• 관측 대수의 구성에서 호프 대수와 그 이중을 통해 순서와 무질서 대칭의 이중성을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한차원 C*-호프 대수와 그 이중으로부터 동시에 순서 및 무질서 대칭을 포함하는 양자 스핀 체인을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 H와 H^의 교차곱으로 구성된 관측 대수 A의 DHR 섹터는 어떻게 완전히 분류되는가?
• RQ3 관측 대수 A의 초선택 섹터의 대칭성은 Drinfeld 이중 D(H)와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 완전하고 기약적이며 이동 불변인 장 대수 확장 F > A의 구조는 어떠한가?
• RQ5 D(H) ⊗ D(H)의 2-코호몰로지 클래스의 코호몰로지가 이러한 장 확장의 분류에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 관측 대수 A의 DHR 섹터는 Drinfeld 이중 D(H)의 기약 표현에 의해 완전히 분류된다.
• 초선택 섹터의 대칭성은 H-순서 및 H^-무질서 대칭을 통합하는 Drinfeld 이중 D(H)를 통해 실현된다.
• 관측 대수 A는 DHR 섹터의 분류를 가능하게 하는 압축성 성질을 지닌다.
• 완전하고 기약적이며 이동 불변인 장 대수 확장 F > A와 D(H) ⊗ D(H)의 2-코호몰로지 클래스 사이에 일대일 대응이 존재한다.
• 구성은 장 대수 확장을 D(H) ⊗ D(H)의 코호몰로지 클래스로 매개변수화하며, 양자 이중 대칭을 시스템의 전반적 대칭으로 실현한다.
• 결과는 표준 리 군이나 대수적 군을 초월한 일반화된 대칭을 갖는 양자 체인에 대한 엄밀한 대수적 프레임워크를 수립한다.