[논문 리뷰] Quantum channels that preserve entanglement

William Arveson|ArXiv.org|2008. 01. 16.

Quantum Information and Cryptography참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 양자 채널—특히 비어있지 않은 완전히 양성적(UCP) 사상—을 도입하고 특성화하여, 채널 확장 시 최대 얽힘 양태의 얽힘 상태가 파괴되지 않도록 보존하는 조건을 제시한다. 이는 UCP 사상이 염기성 파괴(퇴화) 또는 염기성 유지 중 하나에 속하는 이분법적 성격을 가짐을 보이며, 거의 모든 저랭크 UCP 사상이 염기성을 보존할 확률이 1임을 증명한다.

ABSTRACT

Let M and N be full matrix algebras. A unital completely positive (UCP) map ϕ:M o N is said to preserve entanglement if its inflation ϕ\otimes \id_N : M\otimes N o N\otimes N has the following property: for every maximally entangled pure state ρof N\otimes N, ρ\circ(ϕ\otimes \id_N) is an entangled state of M\otimes N. We show that there is a dichotomy in that every UCP map that is not entanglement breaking in the sense of Horodecki-Shor-Ruskai must preserve entanglement, and that entanglement preserving maps of every possible rank exist in abundance. We also show that with probability 1, {\em all} UCP maps of relatively small rank preserve entanglement, but that this is not so for UCP maps of maximum rank.

연구 동기 및 목표

• 염기성을 보존하는 UCP 사상의 정의와 특성화를 위한 목적.
• 모든 UCP 사상이 염기성 파괴 또는 염기성 유지 중 하나임을 보여주는 이분법적 성격을 확립하는 목적.
• 모든 가능한 랭크에 대해 염기성을 유지하는 UCP 사상이 풍부하게 존재함을 보이는 목적.
• 다양한 랭크를 가진 랜덤 UCP 사상의 염기성 보존 확률을 분석하는 목적.
• 극단적 UCP 사상과 Stinespring 표현에 의한 염기성 보존과의 관계를 조사하는 목적.

제안 방법

• Hil베르트 공간 연산자와 최소 Stinespring 쌍을 이용하여 UCP 사상을 표현하기 위해 Stinespring 확장 정리를 사용한다.
• 텐서곱 공간에서 경계 순환 순수 상태에 대한 UCP 사상의 작용을 통해 염기성 보존을 정의한다.
• 랭크 ≤ r인 UCP 사상의 공간 $ \Phi^r $ 에 확률 측도 $ P^r $ 를 도입하여 이를 이러한 사상들의 랜덤 선택으로 간주한다.
• 영-일 법칙을 적용하여 저랭크 사상의 경우 염기성 보존이 거의 확실함을 보이며, 최대 랭크 사상의 경우 드물게 발생함을 증명한다.
• 표현의 반대칭환의 구조를 이용하여 UCP 사상의 극단성 조건을 유도한다.
• UCP 사상과 상태의 매개변수화에 관한 [Arv07]의 결과를 활용하여 확률적 및 구조적 성질을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 염기성을 파괴하는 대신 염기성을 보존하는 UCP 사상은 무엇으로 특징지어지는가?
• RQ2 염기성 파괴와 염기성 유지 사이에 근본적인 이분법적 성격이 존재하는가?
• RQ3 주어진 랭크를 가진 랜덤 선택된 UCP 사상이 염기성을 보존할 확률은 얼마인가?
• RQ4 극단적 UCP 사상은 염기성 보존과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 연산자 튜플 $ (v_1, \dots, v_r) $ 에 어떤 조건이 성립할 경우 UCP 사상이 극단적인가?

주요 결과

• строго한 이분법적 성격 존재: 모든 UCP 사상은 염기성 파괴(형태 $ \phi(x) = \sum_k \omega_k(x)e_k $) 또는 염기성 유지 중 하나이다.
• 모든 가능한 랭크에 대해 염기성을 유지하는 UCP 사상이 풍부하게 존재한다.
• 상대적으로 낮은 랭크를 가진 모든 UCP 사상이 염기성을 보존할 확률이 1이다.
• 반대로, 최대 랭크를 가진 UCP 사상은 염기성을 보존할 확률이 1이 아니다.
• 극단적 UCP 사상은 연산자 집합 $ \{v_i^*v_j\} $ 의 선형 독립성에 의해 특징지어지며, 이는 Choi의 정리와 대응된다.
• 공간 $ \Phi^r $ 에 정의된 확률 측도 $ P^r $ 는 정확히 랭크 $ r $ 를 가진 사상에 집중되어 있어, 랜덤 UCP 사상의 확률적 분석이 가능해진다.