[논문 리뷰] Quantum Computational Complexity

John Watrous|ArXiv.org|2008. 04. 21.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 양자 회로 모델 내에서 BQP, QMA, QIP 등의 기본 개념을 수립하며, 양자 계산 복잡도 이론에 대한 종합적인 설문 조사를 제공한다. 다항 시간 양자 계산, 양자 증명, 상호작용 증명 체계의 능력을 분석하여, BQP와 QMA와 같은 양자 복잡도 클래스가 양자 컴퓨터로 효율적으로 해결되거나 검증 가능한 문제들을 포괄함을 드러내며, 그들의 고전적 클래스와의 관계 및 그래프 이somorphism 문제가 BQP에 포함되는 등 열린 문제들을 규명한다.

ABSTRACT

This article surveys quantum computational complexity, with a focus on three fundamental notions: polynomial-time quantum computations, the efficient verification of quantum proofs, and quantum interactive proof systems. Properties of quantum complexity classes based on these notions, such as BQP, QMA, and QIP, are presented. Other topics in quantum complexity, including quantum advice, space-bounded quantum computation, and bounded-depth quantum circuits, are also discussed.

연구 동기 및 목표

• 다항 시간 양자 계산, 양자 증명, 양자 상호작용 증명 체계를 포함한 양자 계산 복잡도의 핵심 개념을 체계화하고 설문 조사하기.
• 양자 회로 모델이 양자 복잡도 클래스를 정의하는 데 있어 주요 프레임워크로서의 역할을 명확히 하기.
• BQP, QMA, QIP 등의 양자 복잡도 클래스와 P, NP, PSPACE 등의 고전적 복잡도 클래스 간의 관계를 검토하기.
• NP가 BQP에 포함되는 것과 다중 증명자 양자 상호작용 증명의 능력과 같은 양자 복잡도 분야의 열린 문제를 특정하고 강조하기.
• 유계 깊이 및 유계 공간 양자 회로의 계산 능력과 그 복잡도 계급 계층에 대한 함의를 탐색하기.

제안 방법

• 양자 게이트가 유니터리 연산과 측정을 통해 큐비트에 작용하는 양자 회로 모델을 사용하여 양자 복잡도 클래스를 정의한다.
• BQP를 다항 시간 내에 오차가 제한된 양자 컴퓨터로 해결 가능한 결정 문제의 집합으로 정의한다.
• QMA를 효율적으로 검증 가능한 양자 증명(양자 워치맨)을 가진 문제의 집합으로 정의하며, 이는 고전적 증명을 가진 NP와 유사하다.
• QIP를 양자 검증자와 하나 이상의 양자 증명자로 구성된 양자 상호작용 증명 체계를 통해 해결 가능한 문제의 집합으로 도입한다.
• 유계 깊이 양자 회로(QNC 등)의 계산 능력을 분석하여, 심지어 상수 깊이의 회로조차도 일반적인 다항 크기의 회로와 동일한 난이도를 가질 수 있음을 보여준다.
• 오ракูล 분리 및 회로 복잡도 결과를 활용하여 BQP vs. PH 및 NP vs. BQP와 같은 양자 및 고전 복잡도 클래스 간의 관계를 검토한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다항 시간 양자 계산의 계산 능력은 무엇이며, 고전적 다항 시간 계산과 비교해 볼 때 어떻게 다를까?
• RQ2 양자 증명(양자 워치맨)은 계산 문제의 해를 효율적으로 검증할 수 있는가? QMA는 이러한 과정에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 양자 상호작용 증명 체계(QIP)는 얼마나 강력한가? 고전적 상호작용 증명 체계와의 관계는 어떠한가?
• RQ4 그래프 이somorphism 문제는 BQP에 포함되는가? 그 여부는 QMA에서 양자 증명을 통해 검증될 수 있는가?
• RQ5 유계 깊이 양자 회로(QNC)와 공간 유계 양자 계산 간의 관계는 무엇이며, 이들은 계산적으로 동일한가?

주요 결과

• BQP는 오차가 제한된 양자 컴퓨터로 다항 시간 내에 해결 가능한 결정 문제의 집합을 포괄하며, 이는 BPP보다 엄밀히 큰 것으로 널리 여겨진다.
• QMA는 NP의 양자 동반자로, 양자 증명(양자 상태)을 사용해 예-인스턴스를 효율적으로 검증할 수 있으며, 그래프의 비이somorphism를 검증하는 문제의 복잡도를 포괄한다.
• 양자 상호작용 증명 체계(QIP)는 매우 강력하다: QIP = PSPACE이며, 이는 양자 상호작용이 고전적 공간 유계 계산의 전반적인 능력을 포괄할 수 있음을 보여준다.
• 심지어 상수 깊이의 양자 회로조차도 일반적인 다항 크기의 회로와 동일한 수준의 수용 확률을 계산할 수 있어, 깊이가 제한됨에도 불구하고 높은 계산 능력을 지닌다는 것을 시사한다.
• 쇼어의 인수 분해 알고리즘은 고전적 사전 및 사후 처리를 동반한 로그 깊이 회로로도 구현 가능하므로, 인수 분해 문제가 QNC에 속하며 고전적 보조 기능이 필요함을 시사한다.
• 유계 깊이 양자 회로로 제한된 경우조차도 양자 회로 구별 문제는 여전히 QIP-완전하므로, 유계 깊이 양자 회로가 계산적으로 비트리비얼한 능력을 지닌다는 것을 보여준다.