[论文解读] Quantum Kolmogorov Complexity and the Quantum Turing Machine

Markus P. Mueller|ArXiv.org|Dec 28, 2007

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 40被引用 15

一句话总结

本文将量子柯尔莫哥洛夫复杂度形式化为通用量子图灵机（QTM）生成给定量子态所需的最小量子输入长度。证明了存在一个通用QTM，其在任意时间步长下以概率1停止；建立了量子复杂度在至多一个加法常数范围内的不变性；并表明对于经典字符串，量子复杂度与经典复杂度相差一个常数。该研究进一步证明了不可压缩性定理，并表明对于遍历量子信源，复杂度率与熵率以概率几乎必然相等。

ABSTRACT

The purpose of this thesis is to give a formal definition of quantum Kolmogorov complexity (QC), and rigorous mathematical proofs of its basic properties. The definition used here is similar to that by Berthiaume, van Dam, and Laplante. It defines the QC of some indeterminate-length qubit string ρas the minimum base length of any quantum input which makes a quantum Turing machine (QTM) halt and output ρ, up to some error tolerance. First, we prove that there is a QTM which is universal in the sense of input base length. Furthermore, we show several general properties of QTMs, including a result on mutually orthogonal ``halting spaces'', and a way to transform every almost-halting input into a deterministically-halting input by adding at most a constant number of qubits. Afterwards, we apply these results to QC. In particular, we show that QC is invariant, incompressible, agrees with classical Kolmogorov complexity for classical strings, and is closely related to von Neumann entropy for ergodic quantum information sources.

研究动机与目标

• 为量子柯尔莫哥洛夫复杂度提供严格的数学基础，将经典算法信息论扩展至量子领域。
• 以比以往研究更高的数学精度形式化量子图灵机（QTM）模型。
• 证明量子柯尔莫哥洛夫复杂度在选择通用QTM时，至多相差一个加法常数，具有不变性。
• 建立量子复杂度与经典字符串经典复杂度之间的一致性。
• 研究遍历量子信息信源中，量子复杂度率与熵率之间的关系。

提出的方法

• 基于Bernstein和Vazirani的框架构建通用QTM，证明其存在性，并证明其在任意时间步长下以概率1停止。
• 使用分析估计和迹范数不等式，表明任何几乎导致QTM停止的输入，可通过增加至多一个常数数量的量子比特来修改，以确保完全停止。
• 利用控制态的稳定性与量子操作的压缩性，界定在小输入扰动下停止概率的差异。
• 采用长度算符与迹类形式化，定义不同量子比特字符串长度的希尔伯特空间上的平均长度与量子态演化。
• 利用迹距离与部分迹，分析QTM模型中时间步长间量子态的演化。
• 应用关于遍历量子信息信源的结果，通过测度论论证比较复杂度率与熵率。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个通用量子图灵机，能够模拟任意其他QTM，并以概率1停止？
• RQ2 量子柯尔莫哥洛夫复杂度在选择通用QTM时，是否至多相差一个加法常数而保持不变？
• RQ3 对于经典二进制字符串，量子柯尔莫哥洛夫复杂度与经典柯尔莫哥洛夫复杂度有何关系？
• RQ4 量子态的不可压缩率是多少？有多少量子态具有低复杂度？
• RQ5 对于遍历量子信息信源，复杂度率与熵率是否以概率几乎必然相等？

主要发现

• 存在一个通用量子图灵机，可对任意时间步长模拟任意其他QTM，并以概率1停止。
• 任何几乎导致QTM停止的输入，可通过增加至多一个常数数量的量子比特来修改，以确保完全停止，从而确立了量子柯尔莫哥洛夫复杂度的不变性。
• 经典二进制字符串的量子柯尔莫哥洛夫复杂度与其中的经典柯尔莫哥洛夫复杂度相差一个常数。
• 存在不可压缩性定理，表明仅有极小部分量子态可具有低量子柯尔莫哥洛夫复杂度。
• 对于遍历量子信息信源，量子复杂度率与熵率以概率1相等。
• 结果表明，量子柯尔莫哥洛夫复杂度在统计力学中可能具有潜在应用，特别是在表征典型量子态方面。