[논문 리뷰] Quantum Langlands Correspondence

Dennis Gaitsgory|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 20.

Noncommutative and Quantum Gravity Theories참고 문헌 1인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 양자 기하 Langlands 대응에서 추측적 동치를 제안하며, 애질레인 그라스만이니안 위의 D-모듈과 국소 시스템 위의 코herent sheaf 사이의 2-함자적 대칭성을 수립한다. 주요 결과는 임계 수준(c=0)과 무한대에서 도출되며, 수준 0에서의 Whittaker 범주가 Langlands 쌍대군의 표현과 대응되며, opers와 분기된 국소 시스템을 통해 전역 Hecke 고유층으로 일반화된다.

ABSTRACT

These are informal notes written in 2007 that outline the local and global quantum Langlands program. (I decided to make them public in view of the revived interest in the subject.)

연구 동기 및 목표

• 재수정된 군 G와 그 Langlands 쌍대군 Ǧ에 대한 양자 기하 Langlands 대응을 수립하기 위해.
• 순환군 G((t))가 수준 c에서 작용하는 범주와 G-국소 시스템의 매니볼로이드 스택 위의 범주 사이의 2-함자적 대칭성을 수립하기 위해.
• 왜곡된 D-모듈과 Whittaker 구조를 포함하는 양자 설정으로 기하 Langlands 대응을 일반화하기 위해.
• 임계 수준(c=0)과 무한대(c=∞)에서 특수 케이스를 검증하여, Whittaker 범주와 표현 범주 또는 코herent sheaf 간의 동치를 보여주기 위해.

제안 방법

• 수준 0에서 G((t))가 작용하는 범주를 스택 LocSysG(D×) 위의 범주로 매핑하는 2-함자 ΦG→Ǧ를 도입하며, 핵심 구성으로 Whittaker 함자를 사용한다.
• Whittaker 범주 구성법을 활용하여, 애질레인 그라스만이니안 위의 D-모듈과 수준 0에서 Langlands 쌍대군 Ĝ의 표현 간의 관계를 수립한다.
• 순환군 G((t)) 위의 카이랄 범주와 D-모듈의 인수화 구조를 이용하여 G((t)) 위의 텐서곱과 동치적 성질을 정의한다.
• Beilinson-Drinfeld의 opers를 통한 Hecke 고유층 구성법을 적용하여 c=0에서 대응을 검증한다.
• opers와 국소 시스템 위의 코herent sheaf 간의 동치를 수립하며, 구멍이 난 곡선을 통한 분기 케이스를 포함한다.
• 수준 c와 1/c 간의 대칭성을 이용하여, Ĝ의 수준에서의 범주를 쌍대 수준에서의 범주와 연결함으로써 이전 결과를 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 기하 Langlands 대응는 어떻게 애질레인 그라스만이니안 위의 D-모듈과 국소 시스템의 매니볼로이드 스택 위의 코herent sheaf 간의 2-함자적 대칭성으로 수립될 수 있는가?
• RQ2 임계 수준 c=0에서 Whittaker 함자가 양자 Langlands 대응를 실현하는 데 어떤 정확한 역할을 하는가?
• RQ3 BunG,x 위의 D-모듈과 그 Whittaker 구조는 구멍이 난 곡선과 분기된 국소 시스템 위의 코herent sheaf와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 수준 c에서의 W-대수와 Kac-Moody 모듈의 Whittaker 범주 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 전역 양자 Langlands 대응는 어떻게 c=0에서 고전적 기하 Langlands 대응로 특수화되는가?

주요 결과

• 수준 c=0에서, 애질레인 그라스만이니안의 Whittaker 범주 Whitt^0(GrG)는 Langlands 쌍대군 Ĝ의 표현 범주와 동치이다.
• 수준 c=∞에서, 임계 수준의 Kac-Moody 모듈의 범주 ĝ^0-mod^I는 Ĝ에 대한 비정규 분기 opers의 스택 위의 코herent sheaf 범주와 동치이다.
• c=0에서의 전역 대응은 D^0(BunG)-mod ≃ QCoh(LocSysǦ(X))의 동치를 통해 실현되며, opers를 통한 Hecke 고유층 구성에 의해 확인된다.
• 수준 0에서 구멍이 난 플라그 다양체 위의 D-모듈 Whittaker 범주는 AB 정리의 결과로서, Ĝ의 플라그 다양체 위의 코herent sheaf 범주와 동치이다.
• G((t)) 위에서 두 개의 ĝ^0-mod 범주의 텐서곱은 IsomG(D×) 위의 코herent sheaf 범주와 동치이며, 이는 전역적 대칭성의 진술을 제공한다.
• 분기된 전역 대응는 Whitt^0(D^0(BunG,x)) ≃ QCoh(LocSysǦ(X−x))로, LocSysG(D×) 위의 범주로서 실현되며, 분기 케이스에서의 대칭성을 확인한다.