[논문 리뷰] Quantum law for equipartition of energy

P. Białas, Jakub Spiechowicz외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 10.

Quantum Mechanics and Applications인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 조화 진동자로 이루어진 열수조에서 자유도당 열적 운동에너지 $\mathcal{E}_k$ 와 그 주파수 평균 $\langle \cdot \rangle$ 에 의해 가중된 확률 분포 $\mathbb{P}(\omega)$ 를 고려할 때, $E_k = \langle \mathcal{E}_k \rangle$ 를 도입하여 고전적 등분할 정리의 양자 버전을 제안한다. 이 관계는 정확히 해를 구할 수 있는 양자 개방계—자유 브라운 운동과 조화 진동자—에 대해 유도되며, 이는 에너지 등분할에 대한 양자 법칙을 확립한다.

ABSTRACT

One of the fundamental laws of classical statistical physics is the energy equipartition theorem which states that for each degree of freedom the average kinetic energy equals $E_k=k_B T/2$, where $k_B$ is the Boltzmann constant and $T$ is temperature of the system. Despite the fact that quantum mechanics has already been developed for more than 100 years still there is no quantum counterpart of this theorem. We attempt to fill this far-reaching gap and formulate the quantum law for equipartition of energy in the appealing form $E_k = \langle \mathcal E_k angle$, where $\mathcal E_k$ is thermal kinetic energy per one degree of freedom of the thermostat consisting of harmonic oscillators and $\langle ... angle$ denotes averaging over frequencies $\omega$ of those thermostat oscillators which contribute to $E_k$ according to the probability distribution $\mathbb P(\omega)$. We derive it for two paradigmatic and exactly solvable models of quantum open systems: a free Brownian particle and a harmonic oscillator. We formulate conditions for validity of the relation $E_k = \langle \mathcal E_k angle$ for other quantum systems.

연구 동기 및 목표

• 오랜 기간 동안 남아 있던 양자 통계역학의 격차를 메우기 위해 고전적 에너지 등분할 정리의 양자 대응을 제시하는 것.
• 열수조의 진동수 평균에 기반한 평균값을 통해 개방 양자계에서 운동에너지 등분할에 대한 양자 법칙을 정의하는 것.
• 자유 브라운 입자와 조화 진동자와 같은 대표적인 양자 개방계에서 $E_k = \langle \mathcal{E}_k \rangle$ 의 타당성을 입증하는 것.
• 이 양자 등분할 관계가 다른 양자계에서 성립하는 데 필요한 일반 조건을 도출하는 것.

제안 방법

• 조화 진동자로 이루어진 열수조에서 유도된 자유도당 양자 운동에너지 $\mathcal{E}_k$ 를 제안한다.
• 각 진동수의 기여도를 결정하는 확률 분포 $\mathbb{P}(\omega)$ 를 사용하여 주파수 가중 평균 $\langle \mathcal{E}_k \rangle$ 를 정의한다.
• 정확히 해를 구할 수 있는 두 모델—자유 브라운 입자와 조화 진동자—에 이 형식을 적용한다.
• 양자 개방계 이론을 사용하여 평균 운동에너지를 계산하고, 특정 조건 하에서 이가 $\langle \mathcal{E}_k \rangle$ 와 일치함을 보인다.
• 수 bath 스펙트럼 성질과 시스템-수 bath 결합 조건에 기반하여 $E_k = \langle \mathcal{E}_k \rangle$ 의 타당성에 대한 일반 기준을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 운동에너지에 대한 고전적 등분할 정리의 양자 대응은 무엇인가?
• RQ2 개방 양자계에서 자유도당 평균 운동에너지는 어떻게 일관되게 정의할 수 있는가?
• RQ3 어떤 조건에서 $E_k = \langle \mathcal{E}_k \rangle$ 가 열수조에 연결된 양자계에서 성립하는가?
• RQ4 정확히 해를 구할 수 있는 모델에 대해 양자 등분할 법칙을 엄밀히 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 양자 등분할 법칙은 $E_k = \langle \mathcal{E}_k \rangle$ 로 제안되며, 여기서 $\mathcal{E}_k$ 는 조화 진동자로 이루어진 열수조에서 자유도당 운동에너지이다.
• 자유 브라운 입자에 대해, $\mathbb{P}(\omega)$ 에 의해 정의된 주파수 평균화 조건 하에서 관계 $E_k = \langle \mathcal{E}_k \rangle$ 가 정확히 성립한다.
• 조화 진동자에 대해서도 동일한 관계가 엄밀히 도출되어 두 번째 대표적 모델에서의 일관성을 확인한다.
• 논문은 $E_k = \langle \mathcal{E}_k \rangle$ 가 다른 양자계에서 성립하기 위한 수 bath 스펙트럼 밀도와 결합 조건에 대한 일반 조건을 규명한다.