[논문 리뷰] Quantum LDPC codes with $Ω(\sqrt{n}\log^kn)$ distance, for any $k$

Tali Kaufman, Ran J. Tessler|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 21.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 라만두잔 복합체의 텐서 곱을 활용하여 임의의 k에 대해 거리 Ω(√n log^k n)을 갖는 양자 LDPC 코드를 구축한다. 핵심 통찰은 선형 코시스톨을 갖는 복합체와 코시스톨 확산성을 갖는 복합체의 텐서 곱은 선형 코시스톨을 유지함으로써 이전 작업을 초월하는 향상된 코드 거리를 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this work we construct quantum LDPC codes of distance $\sqrt{n} \log^k n$ for any $k$, improving a recent result of Evra et. al. \cite{EKZ}. The work of \cite{EKZ} took advantage of the high dimensional expansion notion known as cosystolic expansion, that occurs in Ramanujan complexes. Our improvement is achieved by considering tensor product of Ramanujan complexes. The main conceptual contribution of our work is the following: a tensor product of a cosystolic expander with a complex with a linear cosystole has a linear cosystole.

연구 동기 및 목표

• 이전에 알려진 바보다 점 渐진적으로 더 큰 최소 거리를 갖는 양자 LDPC 코드를 구축하기 위해.
• 라만두잔 복합체에서의 코시스톨 확산성에 의존하는 이전 구축 방식의 한계를 극복하기 위해.
• 고차원 확산 복합체와 선형 코시스톨을 갖는 복합체의 텐서 곱에 대한 새로운 구조적 성질을 확립하기 위해.
• 양자 LDPC 코드의 거리 스케일링을 다항로그 이하의 향상 수준을 초월하여 일반화하기 위해.

제안 방법

• 강력한 코시스톨 확산 성질을 지닌 라만두잔 복합체를 기본 복합체로 활용하기 위해.
• 코시스톨 확산성을 갖는 복합체와 선형 코시스톨을 갖는 복합체 간의 텐서 곱을 적용하기 위해.
• 결과로 얻어진 텐서 곱 복합체가 선형 코시스톨을 유지함을 증명하기 위해, 이는 핵심 구조적 성질이다.
• 텐서 곱 내의 선형 코시스톨을 활용하여 코드 거리에 하한을 도출하기 위해.
• 고차원 확산 복합체의 대수적 및 위상수학적 도구를 사용하여 코호몰로지 성질을 분석하기 위해.
• 코시스톨 확산성을 통해 논리적 오류에 대한 강건성을 확보함으로써, 큰 코드 거리로 이어지게 하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 코시스톨 확산성을 갖는 복합체와 선형 코시스톨을 갖는 복합체의 텐서 곱이 선형 코시스톨을 유지할 수 있는가?
• RQ2 라만두잔 복합체에서 구축된 양자 LDPC 코드의 최대 도달 가능한 거리는 무엇인가?
• RQ3 텐서 곱 구축 방식은 이전의 거리 한계에 비해 어떻게 향상되는가?
• RQ4 라만두잔 복합체의 코시스톨 확산성을 곱 연산을 통해 활용하여 더 나은 코드 파라미터를 도출할 수 있는가?
• RQ5 텐서 곱에서 어떤 복합체의 구조적 성질이 유지되어 큰 코드 거리를 보장하는가?

주요 결과

• 코시스톨 확산성을 갖는 복합체와 선형 코시스톨을 갖는 복합체의 텐서 곱은 선형 코시스톨을 갖는 복합체를 생성한다.
• 이 구조적 보존 성질은 임의의 k에 대해 거리 Ω(√n log^k n)을 갖는 양자 LDPC 코드를 구축하는 데 기여한다.
• 이전 결과인 Evra 등의 결과를 초월하여 초다항로그적 거리 향상을 달성한다.
• 이 방법은 라만두잔 복합체에 대한 곱 연산을 활용하여 거리가 큰 양자 코드를 구축하는 데 새로운 프레임워크를 수립한다.
• 고차원 확산성과 선형 코시스톨이 텐서 곱을 통해 효과적으로 조합되어 더 나은 코드 파라미터를 도출할 수 있음을 보여준다.
• 단일 복합체로는 불가능한 수준을 초월하여 코드 거리를 증폭할 수 있는 일반적인 메커니즘을 제공한다.