[논문 리뷰] Quantum loop models and the non-abelian toric code

Paul Fendley|ArXiv.org|2007. 11. 01.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 정사각형 격자 위의 양자 루프 모델에 대해 위상적 내적을 도입하여 $ d > \sqrt{2} $ 일 때 비아벨 anyon의 탈구속 상태를 가능하게 한다. 이는 기존 모델에서의 $ d = \sqrt{2} $ 장벽을 극복한 것이다. 루프 접합을 통해 위상적 불변성을 강제하는 방식으로 내적을 재정의함으로써, $ d = \sqrt{2} $ 에서 임계 상태를 실현하고, 네 스핀 상호작용만을 사용하여 $ d = \sqrt{2} $ 에서 갭이 있는 비아벨 anyon을 구현한다.

ABSTRACT

I define quantum loop models whose degrees of freedom are Ising spins on the square lattice as in the toric code, but where the excitations should have non-abelian statistics. The inner product is topological, allowing a direct implementation of the anyonic fusion matrix on the lattice. It also makes deconfined anyons possible for a variety of values of the weight per loop $d$ in the ground state. For d=\sqrt{2}, a gapped non-abelian topological phase can occur with only four-spin interactions.

연구 동기 및 목표

• 비아贝尔 anyon의 탈구속 상태가 발생하는 $ d = \sqrt{2} $ 장벽을 극복하기 위해, 비위상적 내적에 기인한 제약를 피하는 것.
• 루프 구성이 앰플리튜드에 일관되게 기여하고, 접합에 대해 위상적 불변성을 유지하는 위상적 내적을 정의하는 것.
• 이 내적을 통해 고전적 루프 모델이 $ d > \sqrt{2} $ 에서도 임계 상태를 유지함으로써 탈구속 anyon을 가능하게 함을 보여주는 것.
• 비아贝尔 통계가 융합 행렬 $ F $ 를 통해 자연스럽게 나타나며, $ d = 2\cos(\pi/(k+2)) $ 일 때 $ SU(2)_k $ anyon 모델과 일치함을 보여주는 것.
• 확장된 힐베르트 공간 없이도 네 스핀 상호작용만으로 $ d = \sqrt{2} $ 에서 갭이 있는 비아贝尔 위상적 상을 구성하는 것.

제안 방법

• 정점에서 루프 끝을 접합함으로써 위상적 내적을 정의하여, $ \langle 0|\widetilde{0}\rangle = 1/d $ 를 확보함으로써 위상적 불변성을 강제하는 것.
• 비아벨 이론에서의 $ F $-행렬을 정규직교 기저 $ |0\rangle, |1\rangle $ 와 $ |\widetilde{0}\rangle, |\widetilde{1}\rangle $ 사이의 유니터리 변환으로 사용하며, $ F = \frac{1}{d} \begin{pmatrix} 1 & \sqrt{d^2-1} \\ \sqrt{d^2-1} & -1 \end{pmatrix} $ 이다.
• 플라켓에서 스핀-1 상태로의 프로젝션을 수행하는 국소 항 $ \mathcal{F}_p $ 과 존스-웬즐 프로젝터를 구현하는 $ \mathcal{J}_p $ 를 조합하여 해밀토니안을 구성하는 것.
• 분할 함수 $ \langle \Psi|\Psi \rangle = \sum_{{\cal L},{\cal L}'} d^{n_{\cal L}} d^{n_{{\cal L}'}} \lambda^{n_X} $ 를 유도하며, $ \lambda = 1/d $ 이고, 두 개의 결합된 푸츠 모델을 모델링하는 것.
• BMW 대수의 수준-랭크 dualities 를 적용하여 임계점 $ \lambda = \lambda_c = -\sqrt{2} \sin(\pi(k-2)/(4(k+2))) $ 를 식별하고, $ \lambda \in (1/\lambda_c, \lambda_c) $ 에서 임계성을 보여주는 것.
• $ d = \sqrt{2} $ 에서 모델이 $ \lambda = 1/\sqrt{2} $ 인 임계 애쉬킨-틀러 모델로 축소됨을 보이며, 비아贝尔 anyon을 지지하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비아贝尔 위상적 상이 $ d = \sqrt{2} $ 를 초월하여 수정된 내적을 사용해 구현 가능한 양자 루프 모델을 구성할 수 있는가?
• RQ2 루프 접합에 기반한 위상적 내적은 고전적 루프 모델의 임계성과 anyon의 탈구속 상태에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 네 스핀 상호작용만을 사용하는 격자 스핀 모델에서 비아贝尔 통계를 실현하는 데 $ F $-행렬이 수행하는 역할은 무엇인가?
• RQ4 확장된 힐베르트 공간 없이도 네 스핀 상호작용만으로 $ d = \sqrt{2} $ 에서 갭이 있는 비아贝尔 위상적 상을 달성할 수 있는가?
• RQ5 내적이 위상적일 경우 $ d > \sqrt{2} $ 에서 모델이 임계 상태를 보이며, 이는 표준 정규직교 내적과 비교해 어떻게 다를까?

주요 결과

• 위상적 내적은 고전적 루프 모델이 $ d > \sqrt{2} $ 에서도 임계 상태를 유지하게 하여, 기존 정규직교 내적에서는 실패하는 탈구속 anyon을 가능하게 한다.
• $ d = \sqrt{2} $ 에서 모델은 $ \lambda = 1/\sqrt{2} $ 인 임계 애쉬킨-틀러 모델로 축소되며, $ F $-행렬을 통해 비아贝尔 anyon을 지지한다.
• $ k = 6 $ 일 때 임계점은 $ \lambda = -1/d $ 에서 발생하며, $ k < 6 $ 일 경우 $ 1/\lambda_c < \lambda < \lambda_c $ 의 영역에서 모델은 여전히 임계 상태이며 anyon을 탈구속한다.
• 위상적 내적을 가진 해밀토니안은 $ d = \sqrt{2} $ 에서 갭이 있는 비아贝尔 anyon을 지지하며, 존스-웬즐 프로젝터는 네 스핀 상호작용으로 단순화된다.
• 모델은 $ d = 2\cos(\pi/(k+2)) $ 일 때 $ SU(2)_k $ anyon 이론을 실현하며, $ F $-행렬은 비아벨 융합 규칙과 정확히 일치한다.
• 수치적 증거와 수준-랭크 dualities 는 $ \lambda $ 가 $ -1/d $ 근처일 때, $ d > \sqrt{2} $ 이더라도 모델이 임계 상태임을 확인하며, 장거리 위상적 순서를 지지한다.