[논문 리뷰] Quantum Lower Bounds for Distributed Network Computing

Michael Elkin, Hartmut Klauck외 2명|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 22.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 37인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 분산 컴퓨팅과 통신 복잡도를 연결하는 새로운 양자 통신 프레임워크인 Server 모델을 소개한다. 이 모델을 통해 최소 스패닝 트리 및 최단 경로와 같은 기본적인 글로벌 문제에 대한 첫 번째 양자 하한을 도출한다. 통신 복잡도에서 유래한 비국소 게임 기법을 응용함으로써 저자들은 엄밀한 양자 하한을 확립하여, 많은 고전적 하한이 양자 환경에서도 유지됨을 보여주며, 이는 광범위한 문제 클래스에서 양자 우월성이 제한됨을 증명한다.

ABSTRACT

We study lower bounds for quantum distributed computing, where a set of nodes (representing quantum computers) interconnected by an underlying network consisting of (bandwidth-restricted) links, communicate using quantum communication. Nodes have unlimited computational power and may share an unlimited number of entangled qubits. Our main contribution is a simple uniform technique for proving lower bounds for quantum distributed algorithms. In particular, we identify a new quantum communication model called the Server model which provides a connection between distributed algorithms and communication complexity: it is strong enough to capture the hardness of several distributed computing problems, while weak enough that several hard problems in two-party communication complexity remain hard; to this end, we identify a set of communication complexity techniques that can be carried over to the Server model, namely techniques based on nonlocal games. We show that these techniques serve as a fundamental tool in proving lower bounds in quantum distributed computing. The new techniques help us to prove several non-trivial quantum distributed lower bounds (which are the first-known quantum bounds for fundamental global problems such as minimum spanning tree, shortest paths etc.), some of which are new even in the classical setting. First, it allows us to show that all previous classical lower bounds of more than twenty verification and optimization graph problems in [Das Sarma et al., STOC 11] also hold in the quantum setting. Many of these bounds are tight, implying a large class of problems that do not gain an advantage from quantum effects. Our results also imply the following new results in the classical communication models: (1) the first randomized lower bounds for Hamiltonian cycle and spanning tree verification problems in both the distributed computing and the communication complexity model, answering the open problem of Das Sarma et al. and subsuming many bounds in [Babai, Frankl, and Simon, FOCS 96], and (2) the first lower bound that is tight for all weight aspect ratios, matching previous upper bounds of [Elkin, STOC 04]. Submitted for a Regular Presentation. The full version of this paper can be found as [15] at http://arxiv.org/abs/1207.5211. ∗Department of Computer Science, Ben-Gurion University, Beer-Sheva, 84105, Israel. E-mail: [e-mail]. †Division of Mathematical Sciences, Nanyang Technological University, Singapore 637371 & Centre for Quantum Technologies, National University of Singapore, Singapore 117543. E-mail: [e-mail]. Research at the Centre for Quantum Technologies is funded by the Singapore Ministry of Education and the National Research Foundation. ‡Division of Mathematical Sciences, Nanyang Technological University, Singapore 637371. Work partially done while at University of Vienna, Austria. E-mail: [e-mail]. §Division of Mathematical Sciences, Nanyang Technological University, Singapore 637371 & Department of Computer Science, Brown University, Providence, RI 02912, USA. E-mail: [e-mail]. Supported in part by the following research grants: Nanyang Technological University grant M58110000, Singapore MOE Academic Research Fund (AcRF) Tier 2 grant MOE2010-T2-2-082, and a grant from the US-Israeli Binational Science Foundation (BSF).

연구 동기 및 목표

• 제한된 대역폭을 가진 분산 네트워크에서 양자 하한을 증명하기 위한 통합 프레임워크를 개발한다.
• 양자 얽힘과 무제한 국소 계산이 존재하더라도도, 어떤 기본적인 분산 문제들이 양자 속도 향상의 이점을 얻지 못하는지를 규명한다.
• 특히 비국소 게임을 포함한 고전적 통신 복잡도 기법들을 양자 분산 환경으로 확장한다.
• 하이퍼버놀리안 사이클과 스패닝 트리 검증에 대한 새로운 랜덤화된 하한을 도출하여 고전적 분산 컴퓨팅의 열린 문제를 해결한다.
• 모든 가중치 비율에 대해 기존 상한과 정확히 일치하는 엄밀한 하한을 확립하여 네트워크 최적화 분야의 문제를 해결한다.

제안 방법

• 양자 통신 모델인 Server 모델을 제안하여, 분산 문제의 난이도를 유지하면서도 이중 통신 복잡도 문제의 곤경을 그대로 보존한다.
• 통신 복잡도에서 유래한 비국소 게임 기법을 분석하여 Server 모델 내의 양자 프로토콜을 연구한다.
• Server 모델을 사용해 양자 분산 알고리즘을 시뮬레이션하고 분석하며, 주로 통신 비용과 얽힘 사용량을 중점으로 한다.
• 이중 통신 복잡도에서 알려진 난이도 높은 문제들을 분산 네트워크 문제로의 환원을 수립한다.
• 비국소 게임의 구조를 활용하여 분산 환경에서의 양자 통신 복잡도 하한을 유도한다.
• 고전적 하한이 양자 환경으로까지 그대로 적용됨을 보여 양자 프로토콜이 광범위한 글로벌 그래프 문제에서 고전적 프로토콜을 초월할 수 없음을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 통신 복잡도에서 유래한 비국소 게임 기법을 양자 분산 네트워크에서의 양자 하한을 증명하기 위해 적응시킬 수 있는가?
• RQ2 최소 스패닝 트리 및 최단 경로와 같은 기본적인 글로벌 문제에 대해, 양자 분산 알고리즘이 고전적 알고리즘보다 우월한 성능을 보일 수 있는가?
• RQ3 분산 네트워크에서 검증 및 최적화 문제에 대한 고전적 하한이 양자 환경에서도 유효한가?
• RQ4 랜덤화 모델에서 하이퍼버놀리안 사이클과 스패닝 트리 검증과 같은 분산 문제에 대해 가장 날카로운 하한은 무엇인가?
• RQ5 양자 통신 복잡도 기법을 사용해 모든 가중치 비율에 대해 알려진 상한과 정확히 일치하는 엄밀한 하한을 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 최소 스패닝 트리 및 최단 경로와 같은 기본적인 글로벌 문제에 대해 처음으로 양자 하한이 확립되었으며, 이러한 문제들에 대해 양자 우월성이 없음을 보여준다.
• Das Sarma 등(2011년 STOC)이 제시한 20개 이상의 검증 및 최적화 문제에 대한 고전적 하한이 모두 양자 환경에서도 유지됨을 보여, 이 광범위한 문제 클래스에서의 양자 스피드업이 불가능함을 시사한다.
• 이 논문은 분산 컴퓨팅 및 통신 복잡도 모델 양쪽 모두에서 하이퍼버놀리안 사이클과 스패닝 트리 검증에 대한 첫 번째 랜덤화된 하한을 제공한다.
• Elkin(2004년 STOC)의 상한과 정확히 일치하는 엄밀한 하한이 증명되었으며, 이는 네트워크 최적화 분야의 열린 문제를 해결한다.
• Server 모델은 이중 통신 복잡도에서 비국소 게임 기반 기법을 분산 환경으로 성공적으로 이식하여 새로운 하한 증명을 가능하게 하였다.
• 결과적으로, 많은 분산 그래프 문제에서 양자 얽힘과 무제한 국소 계산이 본질적인 통신 복잡도 장벽을 극복하지 못함을 시사한다.