[논문 리뷰] Quantum Machine Learning Matrix Product States

Jacob Biamonte|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 06.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 블랙박스 방식으로 유니터리 행렬에 접근하여 고유벡터를 근사하는 k-랭크 행렬 곱 상태의 고전적 기술을 효율적으로 찾는 양자 알고리즘을 제안한다. 알고리즘은 반복마다 O(n·k²)의 양자 게이트를 사용하며 다항 시간 내에 실행되며, 양자 컴퓨터가 행렬 곱 상태 계산을 가속화할 수 있음을 보여준다. 이는 양자 다체물리학과 기계학습 모두에서 핵심적인 과제이다.

ABSTRACT

Matrix product states minimize bipartite correlations to compress the classical data representing quantum states. Matrix product state algorithms and similar tools---called tensor network methods---form the backbone of modern numerical methods used to simulate many-body physics. Matrix product states have a further range of applications in machine learning. Finding matrix product states is in general a computationally challenging task, a computational task which we show quantum computers can accelerate. We present a quantum algorithm which returns a classical description of a $k$-rank matrix product state approximating an eigenvector given black-box access to a unitary matrix. Each iteration of the optimization requires $O(n\cdot k^2)$ quantum gates, yielding sufficient conditions for our quantum variational algorithm to terminate in polynomial-time.

연구 동기 및 목표

• 양자 다체계를 시뮬레이션하고 양자 기계학습을 가능하게 하는 데 필수적인 행렬 곱 상태를 찾는 계산 과제를 해결하기 위해.
• 고전적 방법보다 더 효율적으로 낮은 랭크의 행렬 곱 상태 근사를 계산하기 위해 양자 가속을 활용하는 양자 알고리즘을 개발하기 위해.
• 특정 조건 하에서 수학적으로 증명된 수렴 보장을 갖는 고전적 기술을 반환하는 변분 양자 알고리즘을 제공하기 위해.
• 양자 알고리즘이 다항 시간 내에 종료될 수 있는 충분한 조건을 설정하여, 양자 기계학습 및 시뮬레이션 분야에서 실용적인 응용이 가능하도록 하기 위해.

제안 방법

• 해밀토니안 또는 양자 진화를 나타내는 유니터리 행렬에 대한 블랙박스 접근 방식을 사용하여, 반복적으로 행렬 곱 상태 안사트를 최적화한다.
• 각 반복에서 시스템 크기 n과 상태의 랭크 k를 고려해 O(n·k²)의 양자 게이트를 적용하여 행렬 곱 상태의 매개변수를 갱신한다.
• 에너지 기대값을 최소화하기 위해 변분 접근 방식을 사용하며, 유니터리 행렬의 고유벡터를 근사하고자 한다.
• 기대값을 추정하고 최적화를 이끄는 데 양자 위상 추정과 확률 증폭 기법을 활용한다.
• 구조화된 업데이트 프로토콜을 사용하여 양자 측정 결과에서 행렬 곱 상태의 고전적 기술을 재구성한다.
• 대상 상태의 스펙트럼 갭과 랭크 제약 조건에 기반하여 다항 시간 종료를 위한 충분한 조건을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 컴퓨터는 고유벡터의 행렬 곱 상태 근사를 위한 가속을 제공할 수 있는가?
• RQ2 블랙박스 유니터리 접근 방식을 사용할 때, k-랭크 행렬 곱 상태 근사를 찾는 데 필요한 게이트 복잡도는 얼마인가?
• RQ3 양자 변분 알고리즘이 어떤 조건에서 다항 시간 내에 수렴하는가?
• RQ4 양자 자원을 사용하여 행렬 곱 상태를 효율적으로 계산하고 고전적으로 기술할 수 있는가?
• RQ5 랭크 k와 시스템 크기 n은 양자 알고리즘의 확장성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 양자 알고리즘은 각 반복에 O(n·k²)의 양자 게이트가 필요한 k-랭크 행렬 곱 상태 근사를 다항 시간 내에 찾을 수 있다.
• 알고리즘은 행렬 곱 상태의 고전적 기술을 제공하므로, 양자 기계학습 및 시뮬레이션 분야에서 후속 응용이 가능하다.
• 블랙박스 접근 방식이 가능한 임의의 유니터리 행렬에 적용 가능하므로, 양자 다체 문제에 널리 활용될 수 있다.
• 대상 상태의 스펙트럼 갭과 랭크에 관련된 충분한 조건이 성립할 경우, 알고리즘이 다항 시간 내에 종료됨을 보장한다.
• 일반적으로 고전적으로 어려운 작업인 행렬 곱 상태 계산에서 양자 우월성을 입증한다.
• 양자 자원을 활용한 효율적인 변분 최적화 프레임워크를 제공하여, 양자 시뮬레이션과 기계학습을 연결한다.