[논문 리뷰] Quantum Many-body Bootstrap

Xizhi Han|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 10.

Quantum many-body systems참고 문헌 22인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 국소 격자 시스템에서 양자 many-body 시스템의 기본 상태 에너지와 관측가능량에 대한 비자명한 하한을 도출하기 위해 연산자 기대값의 정규성 조건을 사용하는 엄밀한 양자 many-body 부트스트랩 방법을 제안한다. 이 방법은 변분 상한과 결합하여 기본 상태 성질을 엄밀하게 제약한다—1차원 및 2차원 허버드 모형에서의 적용을 통해 정확하고 비섭동적 제약 조건을 제공하며, 근사나 부호 문제 없이도 성립한다.

ABSTRACT

A numerical bootstrap method is proposed to provide rigorous and nontrivial bounds in general quantum many-body systems with locality. In particular, lower bounds on ground state energies of local lattice systems are obtained by imposing positivity constraints on certain operator expectation values. Complemented with variational upper bounds, ground state observables are constrained to be within a narrow range. The method is demonstrated with the Hubbard model in one and two dimensions, and bounds on ground state double occupancy and magnetization are discussed.

연구 동기 및 목표

• 국소성을 가진 일반적인 양자 many-body 시스템에서 기본 상태 에너지와 관측가능량을 비섭동적이고 엄밀하게 제약하는 방법을 개발하기 위해.
• 근사 방법의 한계를 극복하기 위해 수치 알고리즘의 기준점이 되는 정확한 하한을 제공하기 위해.
• 공간적으로 국소적인 연산자에 초점을 맞추고 정규성 조건을 강제함으로써 변분 감소 밀도 행렬 이론을 무한 격자로 확장하기 위해.
• 정확한 해나 고정밀 수치 계산이 가능한 곳에서 비교 가능하도록, 1차원 및 2차원 허버드 모형에서 이 방법의 효과성을 입증하기 위해.
• 변분 상한과 보완적으로 작용하는 엄밀한 하한을 제공함으로써, 이중 점유율 및 자화와 같은 관측가능량의 가능한 기본 상태 값의 범위를 좁히기 위해.

제안 방법

• 연산자 기대값에 대한 정규성 조건을 적용한다: $\langle O^\dagger O \rangle \geq 0$, $\langle I \rangle = 1$, 그리고 $\langle O^\dagger \rangle = \langle O \rangle^*$로 물리적 일관성을 확보한다.
• 대칭성 조건은 보존된 물리량 $C_\alpha$에 대해 $\langle [C_\alpha, O] \rangle = 0$으로, 대칭 생성자 $U_\alpha$에 대해 $\langle U_\alpha^{-1} O U_\alpha \rangle = \langle O \rangle$로 구현한다.
• 기본 상태 에너지 하한은 위 조건을 만족하는 선형 함수형 $\mathcal{A}$ 전역에서 $\mathcal{F}[H]$를 최소화함으로써 도출되며, 준정방형 프로그래밍을 사용한다.
• 진짜 기본 상태 $\rho_0$에 대해 $\mathcal{F}[O] = \operatorname{tr}(\rho_0 O)$는 항상 $\mathcal{A}$에 속하므로 $E_{\text{lb}} \leq E_0$임을 보장한다.
• 공간적으로 국소적인 연산자로 제한함으로써 이 방법을 무한 격자로 일반화하여 열역학적 극한에서 many-body 상관관계를 체계적으로 탐색할 수 있도록 한다.
• $K=\infty$ (무한한 제약 집합)로의 외삽은 하한을 향상시키며, 유한한 $K$ 값들에 대한 피팅을 통해 오차를 추정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기본 상태 에너지에 대한 비자명한 하한을 도출하기 위해 연산자 기대값의 정규성 조건을 국소 양자 many-body 시스템에 적용할 수 있는가?
• RQ2 이중 점유율 및 스태그너트 자화와 같은 관측가능량에 대한 부트스트랩 하한은 최신 변분 및 정확한 수치 결과와 어떻게 비교되는가?
• RQ3 이 방법은 페르미온의 부호 문제 또는 무한한 힐베르트 공간을 가진 시스템에서 기본 상태 성질에 대해 비자명하고 비섭동적인 제약 조건을 제공할 수 있는가?
• RQ4 변분 상한과 결합했을 때 부트스트랩 방법이 관측가능량을 얼마나 잘 제약할 수 있으며, 결과적으로 가능한 값의 범위는 얼마나 좁아지는가?
• RQ5 비국소 상관관계나 스펙트럼 함수를 포함시켜 장거리 질서나 경쟁 상황을 탐지하기 위해 이 방법을 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 반도체 상태에서 1차원 허버드 모형의 경우, 부트스트랩 하한이 정확한 해로부터 1% 이내에 있어 높은 정확도를 보였다.
• 2차원에서 $n=1$ 및 $U=8$일 때, 기본 상태 에너지의 부트스트랩 하한은 $E_{\text{lb}}|_{K=\infty} = -0.77(3)$로, AFQMC 결과와 1% 이내였다.
• 반도체 상태에서 $U=8$일 때 이중 점유율의 부트스트랩 하한은 $d_{\text{lb}}|_{K=\infty} = 0.050(3)$였으며, DMRG 및 DMET 결과와 일치했다.
• 부호가 반전된 자화의 상한은 $U=8$일 때 $m_{\text{ub}}|_{K=\infty} = 0.34(2)$였으며, 헤이젠베르크 한계인 $\approx 0.307$에 가까워졌다.
• 이 방법은 변분 상한과 보완되는 엄밀하고 비섭동적인 하한을 도출하여 기본 상태 관측가능량의 불확실성을 몇 퍼센트로 좁혔다.
• 유한한 $K$ 값에서 $K=\infty$로의 외삽은 신뢰할 수 있는 추정치를 제공하며, 피팅의 정확도와 표준 오차를 통해 수치적 불확도를 정량화하였다.