[논문 리뷰] Quantum polar decomposition algorithm

Seth Lloyd, Samuel Bosch외 6명|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 01.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 행렬 A = UB의 극분해를 계산하기 위한 결정론적 양자 알고리즘을 제시한다. 여기서 U는 유니터리이고 B는 양의 에르미트 행렬이며, 알고리즘은 H = [[0, A†], [A, 0]]의 해밀토니안을 적용할 수 있는 능력만을 사용한다. 알고리즘은 U, e^{-iBt}, e^{-iB̃t}를 힐베르트 공간 차원에 관계없이 O(κ) 시간에 효율적으로 구현하며, 이는 양자 프로크루스테스 문제, 훌륭한 측정, 양의 해밀토니안 근사 등에 적용 가능하다.

ABSTRACT

The polar decomposition for a matrix $A$ is $A=UB$, where $B$ is a positive Hermitian matrix and $U$ is unitary (or, if $A$ is not square, an isometry). This paper shows that the ability to apply a Hamiltonian $\pmatrix{ 0 & A^\dagger \cr A & 0 \cr} $ translates into the ability to perform the transformations $e^{-iBt}$ and $U$ in a deterministic fashion. We show how to use the quantum polar decomposition algorithm to solve the quantum Procrustes problem, to perform pretty good measurements, to find the positive Hamiltonian closest to any Hamiltonian, and to perform a Hamiltonian version of the quantum singular value transformation.

연구 동기 및 목표

• 특정 해밀토니안 H = [[0, A†], [A, 0]]에만 액세스할 수 있는 조건에서 행렬의 극분해 U, B, B̃를 결정론적으로 계산하는 데 목적이 있다.
• 행렬 A로부터 유도된 유니터리 및 양의 에르미트 변환을 결정론적으로 구현할 수 있도록 양자 선형 시스템 알고리즘을 확장하는 데 목적이 있다.
• 양자 정보 프로토콜, 예를 들어 양자 프로크루스테스 문제, 훌륭한 측정, 양의 해밀토니안 근사 등에 적용 가능하도록 하는 데 목적이 있다.
• 양자 장 및 조화 진동자와 같은 무한차원 힐베르트 공간으로의 방법 일반화를 목적으로 한다.
• 양자 특이값 변환의 해밀토니안 기반 유사체계를 수립하고, 이를 'QSVT의 해밀토니안 형태'라 칭한다.

제안 방법

• 해밀토니안 H의 고유상태와 고유값 추정치를 연관지키기 위해 위상 추정을 사용한 일반화된 양자 선형 시스템 알고리즘을 적용한다.
• 블록 대각행렬 M = [[D, A†], [A, D̃]]에 대해 V = P₀ - P₁의 유니터리 변환을 적용하여, 일계 토트러라이제이션을 통해 효과적 해밀토니안 [[0, A†], [A, 0]]을 생성한다.
• [[0, A†], [A, 0]]를 적용할 수 있는 능력을 활용하여, 동일한 위상 추정 및 역변환 프레임워크를 사용해 e^{-iBt}와 e^{-iB̃t}를 구현한다.
• U = A(A†A)^{-1/2}를 동일한 절차로 구현하며, 실행 시간 복잡도는 A의 조건수 κ에 대해 O(κ)이다.
• 연속 변수 양자 계산 기법을 적용하여, 소멸 및 생성 연산자가 포함된 시스템과 같은 무한차원 시스템으로 알고리즘을 확장한다.
• 얻어진 U를 사용하여 U를 적용한 후 계산 기저 측정을 수행하고, U†를 통해 후처리를 통해 출력 상태를 준비함으로써 훌륭한 측정을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특정 블록 해밀토니안에만 액세스할 수 있는 조건에서 양자 환경에서 행렬의 극분해를 결정론적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 해밀토니안 H = [[0, A†], [A, 0]]를 적용할 수 있는 능력만을 사용할 때 U, B, B̃를 구현하는 데 소요되는 실행 시간 복잡도는 얼마인가?
• RQ3 이 알고리즘은 양자 장를 묘사하는 무한차원 힐베르트 공간으로까지 확장될 수 있는가?
• RQ4 양자 극분해는 어떻게 하여 양자 프로크루스테스 문제를 해결하고 훌륭한 측정을 구현하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 양자 특이값 변환의 해밀토니안 유사체계가 존재하는가? 만약 존재한다면, 어떻게 구성되는가?

주요 결과

• 양자 극분해 알고리즘은 A의 조건수 κ에 대해 O(κ) 시간 내에 U = A(A†A)^{-1/2}를 구현한다.
• e^{-iBt}와 e^{-iB̃t}는 정밀도 ε에 대해 O(κt/ε) 시간 내에 구현된다.
• 알고리즘의 실행 시간은 힐베르트 공간 차원과 무관하여, 양자 조화 진동자와 같은 무한차원 시스템에 적용 가능하다.
• 입력-출력 쌍을 재구성함으로써 최적의 유니터리 변환을 복원함으로써, 알고리즘은 양자 프로크루스테스 문제를 효율적으로 해결할 수 있다.
• U를 구현하고 계산 기저에서 측정하며, U†를 통해 후처리를 수행함으로써 알고리즘은 훌륭한 측정을 촉진한다.
• 이 방법은 양자 특이값 변환의 해밀토니안 형태로 일반화되어 있으며, 스펙트럼 성질에 기반한 새로운 양자 알고리즘 프레임워크를 제공한다.