[논문 리뷰] Quantum simulation of partial differential equations via Schrodingerisation: technical details

Shi Jin, Nana Liu외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 12. 30.

Quantum Mechanics and Applications인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 일반 선형 편미분방정식(PDE)을 힘의 법칙 시스템으로 변환하는 데 사용되는 새로운 양자 시뮬레이션 프레임워크인 슈뢰딩어화(Schrödingerisation) 방법을 제안한다. 이 방법은 왜곡된 위상 변환을 통해 PDE를 하미르토니안 시스템으로 변환하며, 하미르토니안에 의해 지배되는 유니타리 진화에 통합함으로써 표준 양자 알고리즘을 사용한 효율적인 양자 시뮬레이션을 가능하게 한다. 이는 열 방정식, 대류 방정식, 포커-플랑크 방정식, 볼츠만 방정식, 블랙-쇼스 방정식, 볼라프-포커-플랑크 방정식 등에 적용 가능하다.

ABSTRACT

We study a new method - called Schrodingerisation introduced in [Jin, Liu, Yu, arXiv: 2212.13969] - for solving general linear partial differential equations with quantum simulation. This method converts linear partial differential equations into a `Schrodingerised' or Hamiltonian system, using a new and simple transformation called the warped phase transformation. Here we provide more in-depth technical discussions and expand on this approach in a more detailed and pedagogical way. We apply this to more examples of partial differential equations, including heat, convection, Fokker-Planck, linear Boltzmann and Black-Scholes equations. This approach can also be extended to Schrodingerise general linear partial differential equations, including the Vlasov-Fokker-Planck equation and the Liouville representation equation for nonlinear ordinary differential equations.

연구 동기 및 목표

• 양자 알고리즘을 사용하여 선형 편미분방정식(PDE)을 해결하기 위한 일반 목적의 양자 시뮬레이션 방법을 개발하는 것.
• 공간 이산화 과정에서 일반적으로 허무한 계수와 비대칭 행렬로 인해 하미르토니안 시스템이 도출되지 않는 문제를 해결하는 것.
• 변수 계수, 소스 항, 경계 조건(비동차 딜레르히 조건 포함)을 가진 PDE에까지 양자 시뮬레이션을 확장하는 것.
• 넓은 범위의 PDE와 상미분방정식(ODE)에 적용 가능한 체계적이고 교육적인 기술적 프레임워크를 제공하는 것.
• 비유니타리 또는 비에르미트 행렬을 가진 ODE 시스템을 유니타리 진화 프레임워크로 변환함으로써 시간 단계 시뮬레이션을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 선형 PDE를 하미르토니안 구조를 가진 슈뢰딩어화된 형태로 변환하는 단순한 1차원 보조 변수 변환인 왜곡된 위상 변환(warped phase transformation)을 도입한다.
• 열 방정식, 대류 방정식, 포커-플랑크 방정식, 선형 볼츠만 방정식 등의 PDE에 이 변환을 적용하여 등가의 슈뢰딩어형 시스템으로 재구성한다.
• 푸리에 스펙트럼 이산화를 사용하여 PDE를 반이산화된 ODE 시스템으로 변환한 후, 이 시스템이 유니타리가 되도록 왜곡된 위상 변환을 적용하여 양자 하미르토니안 시뮬레이션으로 시뮬레이션한다.
• 이산화 과정에서 발생하는 비대칭 계수 행렬의 경우, $-iA = H_1 + iH_2$로 표현하여 에르미트 행렬 $H_1, H_2$로 분해하고, 더 큰 에르미트 하미르토니안을 구성하여 유니타리 진동을 복원한다.
• PDE 공간 이산화에서 유도된 일반 선형 ODE 시스템에 대해 블록 인코딩과 페어리티 확장 유니타리화 기법을 적용한다.
• 소스 항과 경계 조건이 비동차인 ODE 시스템에서의 처리를 위해, 하미르토니안 구조를 유지하면서도 간단한 보정 기법을 제안한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 선형 PDE가 체계적으로 양자 시뮬레이션에 적합한 하미르토니안 시스템으로 변환될 수 있는가?
• RQ2 왜곡된 위상 변환은 변수 계수를 가진 PDE, 예를 들어 볼라프-포커-플랑크 방정식에 어떻게 적용될 수 있는가?
• RQ3 슈뢰딩어화 방법은 소스 항과 비동차 경계 조건을 가진 PDE로 확장될 수 있는가?
• RQ4 이 방법을 사용하여 블랙-쇼스 방정식과 선형 볼츠만 방정식과 같은 PDE를 시뮬레이션하는 데 필요한 계산 비용과 실현 가능성은 어떠한가?
• RQ5 시간 복잡도와 유니타리 구조 측면에서 기존의 양자 ODE 해법 및 양자 차분 방법과 비교해 볼 때 이 방법은 어떻게 다른가?

주요 결과

• 슈뢰딩어화 방법은 열 방정식, 대류 방정식, 포커-플랑크 방정식, 선형 볼츠만 방정식, 블랙-쇼스 방정식을 왜곡된 위상 변환을 통해 유니타리 하미르토니안 시스템으로 성공적으로 변환한다.
• 비선형 ODE의 리우빌 표현에서 이 방법은 위상 공간에서의 동역학을 선형 PDE로 재구성함으로써 양자 시뮬레이션을 가능하게 한다.
• 볼라프-포커-플랑크 방정식은 일반화된 프레임워크를 통해 슈뢰딩어화할 수 있지만, 변수 계수의 경우 단순한 왜곡된 위상 변환만으로는 충분하지 않다.
• 소스 항과 경계 조건이 비동차인 PDE의 경우, 간단한 보정 기법을 통해 하미르토니안 구조를 유지하면서도 양자 시뮬레이션을 가능하게 한다.
• 유도된 하미르토니안 시스템은 표준 양자 알고리즘을 사용하여 시간 단계 시뮬레이션을 수행할 수 있으며, 이는 비유니타리 절차로 인한 비용의 기하급수적 증가를 피한다.
• 이 방법은 양자 선형 대수 기초 기법을 활용하여 기하급수적 속도 향상 잠재력을 달성하며, 변환에 의해 도입된 1차원 보조 변수로 인한 최소한의 오버헤드만 존재한다.