[논문 리뷰] Quantum subspace expansion algorithm for Green's functions

François Jamet, Abhishek Agarwal외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 04. 29.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 양자 컴퓨터에서 강한 전자 상관관계를 가진 전자 시스템의 그린 함수를 계산하기 위해 양자 부분공간 확장(QSE) 알고리즘을 제안한다. 이 알고리즘은 랑츠 방법을 통한 연속 분수 표현과 이중 수준의 다중 격자 트로터 시간 진동을 활용하여 기저 상태를 효율적으로 준비하며, 직접 시간 진동과 비교해 회로 깊이가 수 개의 주기 수준으로 크게 감소한다. 이로 인해 금속성 및 모트 절연체 영역 모두에서 정확한 결과를 도출할 수 있으며, 근접한 양자 장치에서의 구현 가능성을 확보한다.

ABSTRACT

We present an algorithm to compute Green's functions on quantum computers for interacting electron systems, which is a challenging task on conventional computers. It uses a continued fraction representation based on the Lanczos method, where the wave functions are expanded as linear combination of basis states within a quantum subspace. While on conventional computers the cost of the computation grows exponentially with system size, limiting the method to small systems, by representing the basis states on a quantum computer one may overcome this exponential scaling barrier. We propose a two-level multigrid Trotter time evolution for an efficient preparation of the basis states in a quantum circuit, which takes advantage of the robustness of the subspace expansion against Trotter errors. Using a quantum emulator we demonstrate the algorithm for the Hubbard model on a Bethe lattice with infinite coordination, which we map to a 16 qubit Anderson impurity model within the dynamical mean field theory. Our algorithm computes the Green's function accurately for both the metallic and Mott insulating regimes, with a circuit depth several orders of magnitude below what has been proposed using time evolution. The two-level multigrid time evolution reduces the number of Trotter steps required to compute the Green's function to about four to six. We therefore expect that the method can be used on near term quantum computers for moderate system sizes, while allowing for scalability to larger circuit depths and qubit numbers on future fault tolerant quantum computers.

연구 동기 및 목표

• 강한 상관관계를 가진 시스템에서 기존 그린 함수 계산의 지수적 스케일링 문제를 해결하기 위해.
• 회로 깊이 제약을 극복하여 근접한 양자 컴퓨터에서 그린 함수의 효율적 양자 시뮬레이션을 가능하게 하기 위해.
• 부분공간 확장과 감소된 트로터 오차를 가진 시간 진동을 활용해 확장 가능하고 강건한 그린 함수 계산 방법을 개발하기 위해.
• 다이나믹스 평균장 이론(DMFT) 하에서 허버드 모델을 앤더슨 임플리시티 모델로 매핑한 16 큐비트 양자 에뮬레이터에서 알고리즘의 구현 가능성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 알고리즘은 랑츠 방법에 기반한 그린 함수의 연속 분수 표현을 사용하여, 더 빠른 수렴을 위한 크릴로프 부분공간의 구조를 활용한다.
• 부분공간 확장에 필요한 기저 상태를 효율적으로 준비하기 위해 이중 수준의 다중 격자 트로터 시간 진동 회로를 적용한다. 이는 트로터 오차의 영향을 최소화한다.
• 부분공간 내 각 기저 상태는 양자 컴퓨터에서 개별적으로 준비되며, 깊은 변량 회로를 피하고 신뢰성을 향상시킨다.
• 선택된 기저에서의 해밀토니안 행렬 원소는 양자 컴퓨터에서 계산되고, 확장 계수는 고전적 선형 대수를 통해 해석된다.
• 수정된 그린 함수와 대각 원소의 선형 조합을 사용하여 더 큰 그린 함수의 비대칭 원소를 계산하는 데로 방법을 확장한다.
• 해법은 다이나믹스 평균장 이론(DMFT) 내에서 무한 좌표의 베티 격자 허버드 모델을 16 큐비트 앤더슨 임플리시티 모델로 매핑한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 직접 시간 진동과 비교해 회로 깊이를 크게 줄일 수 있는가? 즉, 양자 부분공간 확장 알고리즘이 강한 상관관계를 가진 시스템의 그린 함수를 계산할 수 있는가?
• RQ2 이중 수준의 다중 격자 트로터 시간 진동은 부분공간 확장에서 기저 상태 준비의 정확성과 효율성을 어떻게 향상시키는가?
• RQ3 이 알고리즘은 양자 에뮬레이터에서 허버드 모델의 금속성 및 모트 절연체 상을 얼마나 잘 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ4 근접한 양자 장치에서 낮은 회로 깊이를 유지하면서 트로터 오차에 강건한가?
• RQ5 상태 준비 정밀도와 확장 가능성 측면에서 부분공간 확장 접근법은 변량 양자 알고리즘과 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 16 큐비트 양자 에뮬레이터에서 허버드 모델의 금속성 및 모트 절연체 영역 모두에서 그린 함수를 정확하게 계산하였다.
• 직접 시간 진동 방법과 비교해 회로 깊이가 수 개의 주기 수준으로 크게 감소하였으며, 단지 네~육 개의 트로터 단계만 필요로 하였다.
• 이중 수준의 다중 격자 트로터 시간 진동은 낮은 회로 깊이에서도 오차 누적이 최소화된 강건한 상태 준비를 가능하게 하였다.
• 100개의 마츠부라 주파수와 유한한 역온도 β = 100을 사용하여 다이나믹스 평균장 이론 루프에서 수렴을 달성하였다. 이는 기저 상태의 지배성을 확보하기 위함이다.
• 수정된 그린 함수의 선형 조합을 통해 더 큰 그린 함수의 비대칭 원소를 성공적으로 계산하였으며, 이는 방법의 적용 범위를 확장하였다.
• 향후 고장내성 양자 컴퓨터를 위한 확장 가능성 잠재력을 보였으며, 회로 깊이와 큐비트 수를 더 큰 시스템으로 확장 가능하다.