[논문 리뷰] Quantum Theory for the Binomial Model in Finance Theory

Zeqian Chen|arXiv (Cornell University)|2001. 12. 25.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 9인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 금융에서의 이항 시장에 대한 양자 모델을 제안하며, 그 위험 중립 세계가 R³ 내 단위 구 안에 있는 디스크를 이룬다는 것을 보여주고 있다. 이 디스크의 반지름은 무위험 금리와 두 개의 무공매도 방지 임계값에 의해 결정된다. 저자들은 N개의 구별 가능한 양자 입자를 맥스웰-볼츠만 통계에 적용하여 코크스-로스-루빈스타인 이항 옵션 가격 정식을 재유도함으로써 고전적 옵션 가격 정식에 대한 양자 기반을 확립한다.

ABSTRACT

In this paper, a quantum model for the binomial market in finance is proposed. We show that its risk-neutral world exhibits an intriguing structure as a disk in the unit ball of ${\bf R}^3,$ whose radius is a function of the risk-free interest rate with two thresholds which prevent arbitrage opportunities from this quantum market. Furthermore, from the quantum mechanical point of view we re-deduce the Cox-Ross-Rubinstein binomial option pricing formula by considering Maxwell-Boltzmann statistics of the system of $N$ distinguishable particles.

연구 동기 및 목표

• 금융에서의 이항 시장 모델에 대한 양자역학적 프레임워크를 개발하기 위해.
• 양자역학이 위험 중립 평가와 옵션 가격 정식에 더 깊은 기초를 제공할 수 있는지 탐구하기 위해.
• 양자 통계역학을 사용하여 고전적 코크스-로스-루빈스타인 이항 옵션 가격 정식을 재유도하기 위해.
• 양자 이항 모델에서의 위험 중립 세계의 기하학적 구조를 조사하기 위해.

제안 방법

• 파울리 행렬을 사용하여 두 수준의 힐베르트 공간에서 주식 수익률을 양자 연산자 R로 모델링하기 위해.
• 기대 수익률이 무위험 금리와 연결된 조건을 만족하는 밀도 행렬을 위험 중립 상태로 정의하기 위해.
• N개의 구별 가능한 입자를 위한 맥스웰-볼츠만 통계를 사용하여 상승/하락 이동의 확률 분포를 계산하기 위해.
• 위험 중립 평가 원리를 적용하여 옵션 가격을 양자 상태에 대한 기대값으로 유도하기 위해.
• 이항 계수와 확률을 포함하는 합으로서 옵션 가격을 유도하여 표준 코크스-로스-루빈스타인 공식에 도달하기 위해.
• 동일한 가격 정식 문제에 대해 보스-아인슈타인 통계를 대안 양자 통계 모델로 탐색하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 금융의 이항 시장 모델이 고전적 확률 대신 양자역학으로 일관되게 기술될 수 있는가?
• RQ2 양자 이항 시장 모델에서의 위험 중립 세계의 기하학적 구조는 무엇인가?
• RQ3 맥스웰-볼츠만 통계를 사용할 때 고전적 코크스-로스-루빈스타인 옵션 가격 정식이 어떻게 도출되는가?
• RQ4 위험 중립 디스크 반지름의 임계값들이 공매도를 방지하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 옵션 가치가 상승/하강 확률에 대한 의존성에서 양자 모델은 고전 모델과 어떻게 다를까?

주요 결과

• 양자 이항 시장의 위험 중립 세계는 무위험 이자율과 두 개의 공매도 방지 임계값에 의해 결정되는 반지름을 가진 R³ 내 단위 구 안에 있는 디스크를 이룬다.
• 맥스웰-볼츠만 통계를 따르는 N개의 구별 가능한 양자 입자로 구성된 다기능 시장 모델을 통해 코크스-로스-루빈스타인 이항 옵션 가격 정식이 재유도된다.
• 옵션 가격은 이항 확률의 합으로 표현되며, 위험 중립 확률 q = (r−a)/(b−a)가 양자 상태 조건에서 자연스럽게 도출된다.
• 유도된 공식은 고전 결과와 일치한다: C₀^N = S₀Ψ(τ;N,q') − K(1+r)^−NΨ(τ;N,q), 여기서 Ψ는 보완 이항 분포 함수이다.
• 보스-아인슈타인 통계를 사용하여 다른 가격 정식 공식이 도출되었으며, 경로에 대한 정규화된 확률 분포를 제공함으로써 옵션 가격 정식에 대한 다른 양자 통계 기반을 시사한다.
• 양자 모델은 위험 중립 측도에 기하학적이고 물리적인 해석을 제공하며, 블로흐 구와 양자 상태 공간의 기하학과 연결한다.