[논문 리뷰] Quasi-conserved quantities in the perturbed XXX spin chain

Savvas Malikis, Denis V. Kurlov외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 03.

Quantum many-body systems참고 문헌 31인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 약한 외부 편미분이 작용하는 등방성 XXX 스핀-1/2 체인에서, 적분 가능 모델의 국소적 보존량을 수정하여 준보존량을 구성한다. SU(2) 대칭성과 이동 대칭성을 갖는 국소적 편미분의 강도에 대한 섭동 전개를 사용하여, 제2차 오차까지 정확도를 확보할 수 있는 준보존량으로서의 역할을 할 수 있는 것은 첫 번째 몇 개의 보존량(약 n ≈ 3–4차까지)에 국한되며, 이는 고차수 보존량은 국소성과 발산하는 수정항으로 인해 보존성이 상실되기 때문이다.

ABSTRACT

We consider the isotropic spin-1/2 Heisenberg spin chain weakly perturbed by a local translationally- and SU(2)-invariant perturbation. Starting from the local integrals of motion of the unperturbed model, we modify them in order to obtain quasi-conserved integrals of motion (charges) for the perturbed model. Such quasi-conserved quantities are believed to be responsible for the existence of the prethermalization phase at intermediate timescales. We find that for a sufficiently local perturbation only the first few integrals of motion can be promoted to the quasi-conserved charges, whereas higher-order integrals of motion do not survive.

연구 동기 및 목표

• 실험과 시뮬레이션에서 관측된 프리터멀라이제이션 단계를 설명할 수 있는, 약하게 편미분된 XXX 스핀 체인 내 준보존량을 규명하는 것.
• 중간 시간 척도에서 유효한 보존량을 규명함으로써 일반화된 지브스 분포(GGE)의 프레임워크를 거의 적분 가능한 시스템으로 확장하는 것.
• 원래의 XXX 모델의 국소적 보존량이 약한 외부 편미분가 존재할 때 어떻게 수정되어야 하는지, 준보존량이 되는 조건을 규명하는 것.
• SU(2)-불변 텐서 구조가 보존량 수정항을 구성함으로써 대칭성과 국소성을 유지하는 데 기여하는 방식을 조사하는 것.
• 섭동 전개 방법의 한계를 명확히 하여, 특히 고차수 보존량이 왜 준보존 상태를 유지하지 못하는지 밝혀내는 것.

제안 방법

• 적분 가능 XXX 스핀 체인의 국소 보존량 $ Q_n $ 에서 출발하여, 작은 편미분 강도 $ \lambda $ 에 대한 섭동 전개를 통해 수정항 $ \delta Q_n^{(m)} $ 를 구성한다.
• 2개 이상의 스핀에 대한 파울리 행렬의 곱으로 구성된 SU(2)-불변 연산자 기저를 사용하여 수정항을 표현하며, 이는 $ \Delta_2, \Delta_3, \Delta_4, \Delta_5 $ 등을 포함한다.
• 제2차 오차까지의 준보존성을 확보하기 위해 조건 $ [H_0 + \lambda V, \tilde{Q}_n] = \mathcal{O}(\lambda^2) $ 를 적용하여 계수 $ c_n^{(m)} $ 에 대한 재귀 방정식을 유도한다.
• SU(2)-불변 텐서 곱을 체계적으로 생성하기 위해 재귀 관계 $ \Delta_n(j_1,\dots,j_n) = i[\Delta_2(j_1,j_2), \Delta_{n-1}(j_2,\dots,j_n)] $ 를 적용한다.
• 최종적으로 유도된 선형 연립방정식의 계수 $ c_n^{(m)} $ 를 해석하여 수정된 보존량 $ \tilde{Q}_n = Q_n + \sum_m \delta Q_n^{(m)} $ 이 편미분 해밀토니안과 제2차 오차까지 교환관계를 만족하도록 보장한다.
• 수정항의 척도를 분석하여 고차수 보존량은 점점 더 비국소적인 항을 요구하며, 이는 계수의 발산과 함께 전개 방법의 붕괴를 초래함을 밝혀낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 약한 국소적, SU(2)-대칭성과 이동 대칭성을 갖는 외부 편미분이 존재할 때, 적분 가능 XXX 모델의 국소적 및 준국소적 보존량 중 어떤 것들이 준보존량으로서 기능할 수 있는가?
• RQ2 이러한 편미분 하에서 보존량이 근사적으로 보존될 수 있는 최대 차수는 무엇이며, 고차수 보존량이 왜 준보존 상태를 유지하지 못하는가?
• RQ3 SU(2)-불변 텐서 구조(예: $ \Delta_2, \Delta_3, \Delta_4 $)는 대칭성과 국소성을 유지하는 수정항을 구성하는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ4 준보존량의 섭동 전개 방법을 첫 번째 몇 차수를 넘어서 체계적으로 확장할 수 있으며, 고차수 보존성 유지를 방해하는 장애 요소는 무엇인가?
• RQ5 준보존성 붕괴와 시간 척도 $ t \sim \lambda^{-2} $ 에서 나타나는 프리터멀라이제이션 역학 간의 연결 고리는 무엇인가?

주요 결과

• 제2차 오차까지 정확도를 확보할 수 있는 것은 첫 번째 몇 개의 보존량(약 $ n \approx 3 $–$ 4 $)에 국한되며, 고차수 보존량은 발산하는 수정항으로 인해 보존성이 상실된다.
• 수정항 $ \delta Q_n^{(m)} $ 의 구성은 $ \Delta_2, \Delta_3, \Delta_4 $ 등의 SU(2)-불변 텐서 곱을 기반으로 하며, 이는 재귀 관계를 통해 체계적으로 생성된다.
• 특히 $ n=3 $ 의 경우, 준보존량 $ \tilde{Q}_3^{(4)} $ 는 $ \Delta_2 $ 와 $ \Delta_3 $ 항을 사용하여 구성되며, 계수 $ c_3^{(3)}(\{0,1,2\}) = 0 $ 으로 설정되어 과도한 중복 또는 모순을 방지한다.
• 고차수 보존량에 대해 섭동 방법이 붕괴하는 이유는 요구되는 수정항이 점점 비국소적이 되고 계수가 발산하기 때문이며, 이는 정확한 준보존성을 불가능하게 한다.
• 고차수 보존량이 준보존 상태를 유지하지 못하는 것은 거의 교환되는 행렬 세트의 존재 불가능성과 관련이 있으며, 이는 연산자 대수학적 측면에서의 근본적 장애를 시사한다.
• 결과는 약하게 편미분된 XXX 체인에서의 프리터멀라이제이션은 전체 국소 보존량이 아닌, 첫 번째 몇 개의 준보존량으로 구성된 저질서 효과적 GGE에 의해 지배된다는 아이디어를 지지한다.