[논문 리뷰] Quasi-invariant means and Zimmer amenability

Gábor Elek, Ádám Timár|arXiv (Cornell University)|2011. 09. 27.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 4인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 군 작용 하에서 가чёт 집합 위에 대한 준불변 평균의 존재를 위한 필요 및 충분 조건을 가중치가 부여된 Følner 수열을 사용하여 수립한다. 가중치가 부여된 초유한성이라는 기하학적 기준을 도입하여 Zimmer 애매성에 이를 이르게 하며, 애매한 군들과 유한 점근 차원을 갖는 군들이 가중치가 부여된 초유한성을 띤다는 것을 보이고, 균형 잡힌 가중치 함수를 통해 원소가 없는 불변 측도의 존재를 증명한다.

ABSTRACT

Let $Γ$ be a countable group acting on a countable set $X$ by permutations. We give a necessary and sufficient condition for the action to have a quasi-invariant mean with a given cocycle. This can be viewed as a combinatorial analogue of the condition for the existence of a quasi-invariant measure in the Borel case given by Miller. Then we show a geometric condition that guarantees that the corresponding action on the Stone-Čech compactification is Zimmer amenable. The geometric condition (weighted hyperfiniteness) resembles Property A. We do not know the exact relation between the two notions, however, we can show that amenable groups and groups of finite asymptotic dimension are weighted hyperfinite.

연구 동기 및 목표

• 군 작용 하에서 가чёт $\Gamma$-집합 위에 대한 $w$-불변 평균의 존재를 위한 필요 및 충분 조건을 제공한다.
• 그래프와 군에서의 가중치가 부여된 초유한성의 개념을 도입하고 연구한다. 이는 Property A의 기하학적 유사체이다.
• Stone-Čech 컴actification 위에서의 작용 맥락에서 가중치가 부여된 초유한성과 Zimmer 애매성 사이의 연결 고리를 설정한다.
• 애매한 군들과 유한 점근 차원을 갖는 군들이 가중치가 부여된 초유한성을 띤다는 것을 증명한다.
• 비애매한 군 위에 균형 잡힌 가중치 함수를 구성하여, 이에 대응하는 $\beta\Gamma$ 위의 측도가 원소가 없음을 보인다.

제안 방법

• 군 $g \in \Gamma$ 와 부분집합 $A \subseteq X$ 에 대해 적분 조건 $\mu(gA) = \int_A \frac{w(gx)}{w(x)} \, d\mu(x)$ 를 통해 $w$-불변 평균을 정의한다.
• 기존의 Følner 수열의 일반화로 $w$-Følner 수열을 도입하며, 큰 $n$ 에 대해 $\frac{\sum_{x \in gF_n \cup F_n} w(x)}{\sum_{x \in F_n} w(x)} < 1 + \epsilon$ 이 성립하도록 요구한다.
• 그래프에 대한 가중치가 부여된 초유한성을 정의한다: 임의의 $\epsilon > 0$ 에 대해, 모든 유한한 유도 부분그래프는 작은 무게와 유한한 컴포넌트 크기를 갖는 $(w,\epsilon)$-분리 집합을 가진다.
• 가중치가 부여된 초유한성이 준등장사상에 대해 불변임을 증명하여, 가중치가 부여된 초유한성 군의 정의를 가능하게 한다.
• Cayley 그래프에서 정점을 서로 겹치지 않는 구를 구성함으로써, $w$-Følner 수열이 존재하도록 하는 균형 잡힌 가중치 함수 $w$ 를 정의한다.
• 큰 구를 소측도를 갖는 부분집합들로 나누어, $\beta\Gamma$ 위의 관련 측도 $\widetilde{\mu}_{F,\omega}$ 가 원소가 없음을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 군 작용 하에서 가чёт $\Gamma$-집합 위에 $w$-불변 평균이 존재하기 위한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ2 가중치가 부여된 초유한성은 Property A와 Zimmer 애매성과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 어떤 군들이 가중치가 부여된 초유한성을 띤다고 할 수 있으며, 이는 애매성과 점근 차원과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 비애매한 군 위에 균형 잡힌 가중치 함수를 구성하여, 이에 대응하는 $\beta\Gamma$ 위의 측도가 원소가 없도록 할 수 있는가?
• RQ5 가중치가 부여된 Følner 수열의 존재는 $w$-불변 평균의 존재와 동치인가?

주요 결과

• 가중치가 부여된 Følner 수열의 존재는 가чёт $\Gamma$-집합 위에 $w$-불변 평균이 존재하기 위한 필요 및 충분 조건이다.
• 가중치가 부여된 초유한성은 Stone-Čech 컴actification $\beta\Gamma$ 위의 작용에 대해 Zimmer 애매성을 이룬다.
• 애매한 군들과 유한 점근 차원을 갖는 군들은 가중치가 부여된 초유한성을 띤다.
• 임의의 유한 생성 비애매한 군에 대해, $w$-Følner 수열이 존재하고, 이에 대응하는 $\beta\Gamma$ 위의 측도가 원소가 없는 균형 잡힌 가중치 함수 $w$ 가 존재한다.
• $\beta\Gamma$ 가 유한 개의 Borel 집합으로 나뉘어지고, 각각의 측도가 임의로 작은 값을 갖기 때문에, $\beta\Gamma$ 위의 측도 $\widetilde{\mu}_{F,\omega}$ 는 원소가 없다.
• 서로 겹치지 않는 구에서 중심을 기준으로 한 구면을 통해 $w$ 를 구성함으로써 균형 잡힘과 $w$-Følner 성질이 동시에 확보된다.