[논문 리뷰] Quasi likelihood analysis of point processes for ultra high frequency data

Teppei Ogihara, Nakahiro Yoshida|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 05.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 29인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 초고빈도 금융 데이터에 특화된 점과정 회귀모형을 위한 준우도 분석 프레임워크를 제안하며, 스토크라틱 공변량을 포함한 하크스 유형의 강도 역학을 일반화한다. 통계적 랜덤 필드에 대한 다항형 대칭 이탈 추정치를 확립하여, 비ergodic성 및 고강도 표본 추출 환경에서 최대우도 및 베이지안 추정기의 점근적 이론을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We introduce a point process regression model that is applicable to price models and limit order book models. Hawkes type autoregression in the intensity process is generalized to a stochastic regression to covariate processes. We establish the so-called quasi likelihood analysis, which gives a polynomial type large deviation estimate for the statistical random field. We derive large sample properties of the maximum likelihood type estimator and the Bayesian type estimator when the intensity processes become large under a finite time horizon. There appears non-ergodic statistics. A classical approach is also mentioned.

연구 동기 및 목표

• 비ergodic성과 브라운 운동의 부재로 인해 기존 점근적 이론이 실패하는 초고빈도 금융 데이터에서 통계적 추론의 과제를 해결한다.
• 스토크라틱 공변량과 하크스 유형의 역학을 통해 리드-래그 효과, 마이크로스트럭처 노이즈 및 자기자극을 포착하는 점과정 회귀모델을 개발한다.
• 유한한 시간 범위 점근적 분석과 고강도 과정을 고려한 추정기의 대표적 성질을 도출하기 위해 준우도 분석(QLA) 프레임워크를 수립한다.
• 초고빈도 데이터에서 유래하는 비ergodic 통계 모형에서 최대우도 및 베이지안 유형 추정기의 이론적 근거를 제공한다.
• 전통적인 통계 이론을 고빈도 점과정의 고유한 특성(비동기 샘플링 및 마이크로스트럭처 효과 등)을 수용하도록 확장한다.

제안 방법

• 강도 $ \lambda^n(t,\theta) = g^n(t,\theta) + \int_{\hat{T}_0}^{t-} K^n(t,s,\theta) dX^n_s $ 를 갖는 d차원 점과정 $ N^n $ 을 제안하며, 여기서 $ g^n $ 과 $ K^n $ 은 스토크라틱 공변량과 커널이다.
• 강도 과정을 공변량 $ g^n $, $ K^n $ 과 적응적인 증가 과정 $ X^n $ 에 대한 스토크라틱 회귀로 모델링하여 하크스 과정을 랜덤 공변량을 포함하도록 일반화한다.
• 준우도 분석(QLA)을 적용하여 통계적 랜덤 필드에 대한 다항형 대칭 이탈 추정치를 도출함으로써, 비ergodic 조건 하에서의 점근적 분석을 가능하게 한다.
• Lenglart 부등식과 마틴갈레리아 이론을 활용하여 교차변동항의 수렴성을 확보하고, 고강도 표본 추출 하에서 추정기의 안정성을 보장한다.
• QLA 프레임워크를 통해 추정기의 모멘트 수렴성과 점근 정규성을 확립하며, 기저 과정이 비ergodic하더라도 이를 보장한다.
• Jacod의 정리와 Radon-Nikodym 미분을 활용하여 마틴갈레리아 성분과 세미마르티ン갈레리아 성분 간의 교차변동성을 분석함으로써 추정 프레임워크의 일致성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 하여 초고빈도 금융 데이터에서 자기자극, 외생적 영향 및 리드-래그 역학을 포착하는 점과정 회귀모델을 구축할 수 있는가?
• RQ2 강도 과정이 유한한 시간 범위 내에서 커질 경우 최대우도 및 베이지안 유형 추정기의 점근적 행동은 어떻게 되는가?
• RQ3 비ergodic 통계를 다룰 수 있는 준우도 분석 프레임워크를 고강도, 비동기 점과정에 적용할 수 있는가?
• RQ4 마틴갈레리아 성분과 세미마르티ン갈레리아 성분 간의 교차변동항의 확률적 유계성과 수렴성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 표준 ergodic성 가정이 없을 경우 QLA 프레임워크는 어떻게 다항형 대칭 이탈 추정치를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 비ergodic 조건 하에서도 통계적 랜덤 필드에 대한 다항형 대칭 이탈 추정치를 도출하는 준우도 분석 프레임워크를 수립하였다.
• QLA 프레임워크 하에서 최대우도 및 베이지안 유형 추정기는 비ergodic성의 부재에도 불구하고 일致성과 점근 정규성을 보임이 입증되었다.
• 표본 추출 빈도가 증가함에 따라 마틴갈레리아 성분과 세미마르티ン갈레리아 성분 간의 교차변동항이 확률적으로 0으로 수렴하며, 이는 추정기의 안정성을 보장한다.
• Lenglart 부등식을 활용하여 점프 크기의 Supremum와 교차변동 과정이 확률적으로 유계임을 증명함으로써 수렴 결과를 뒷받침한다.
• 강도를 공변량에 대한 스토크라틱 회귀로 모델링함으로써 고강도, 비동기 및 마이크로스트럭처 영향을 받는 데이터를 효과적으로 처리한다.
• 이론적 결과는 일반화된 하크스 유형 강도 과정을 통해 가격 모형 및 리미트 오더북 역학 등 실제 금융 모형에 적용 가능하다.