[논문 리뷰] Quasi-local mass at the null infinity of the Vaidya spacetime

Po-Ning Chen, Mu‐Tao Wang외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 22.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 6인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비아디아 시공간에서 미래의 광선 무한대에서 단위 구면에서의 왕-유 준국소 질량을 평가하며, 최적의 매장 방정식을 명시적으로 풀어 질량이 $O(d^{-2})$로 감쇠됨을 보이고, 질량 개시 함수가 단조 감소할 경우 준국소 질량이 양수임을 입증하여 광선 무한대에서 질량 손실의 국소적 특성화를 제공한다.

ABSTRACT

There are two important statements regarding the Trautman-Bondi mass [1,8,5] at null infinity: one is the positivity [7,6], and the other is the Bondi mass loss formula [1], which are both global in nature. The positivity of the quasi-local mass can potentially lead to a local description at null infinity. This is confirmed for the Vaidya spacetime in this note. We study the Wang-Yau quasi-local mass on surfaces of fixed size at the null infinity of the Vaidya spacetime. The optimal embedding equation is solved explicitly and the quasi-local mass is evaluated in terms of the mass aspect function of the Vaidya spacetime.

연구 동기 및 목표

• 준국소 질량을 사용하여 광선 무한대에서 질량의 국소적 기술을 제공함으로써, 본드리 질량 손실 공식과 같은 전역 결과를 확장하고자 한다.
• 비가역적 복사 블랙홀 모델인 비아디아 시공간에서 미래의 광선 무한대에 있는 단위 구면에서 왕-유 준국소 질량을 평가하고자 한다.
• 준국소 질량의 부호와 질량 개시 함수의 단조성 사이의 직접적 연결을 수립하고자 한다.
• 비아디아 시공간이 소규모 변화가 아니므로, 선형화된 슈바르츠실트 진동에서 관측된 것과 동일한 $O(d^{-2})$ 감쇠율을 준국소 질량이 보인다는 것을 입증하고자 한다.

제안 방법

• 비아디아 시공간에서 미래의 광선 무한대에 있는 광선 기저선 상의 점들을 중심으로 반지름 1인 구면 $\Sigma_d$ 를 구성한다.
• 좌표 변환을 통해 $ (t, s, u^1, u^2) $ 를 사용하며, 여기서 $ t = d $, $ s = 1 $, $ u^a $ 는 단위 구면 상의 각도 좌표이다.
• 질량 개시 함수 $ M(u) $ 를 이용하여 최적의 매장 방정식을 명시적으로 풀며, 주요 근사값 $ X $ 와 $ T_0 = (1,0,0,0) $ 를 사용한다.
• 준국소 에너지를 공식 $ E(\Sigma_d, X, T_0) = -\frac{1}{16\pi d^2} \int_{S^2} \partial_u M (1 - Z^2) \, dV_{S^2} + O(d^{-3}) $ 를 사용하여 평가하며, 여기서 $ Z = \tilde{d}_i \tilde{X}^i $ 이다.
• 논문 [4]의 정리 4.5를 적용하여, 슈바르츠실트에서 비아디아로 이르는 일파라미터 가중 시공간의 가중족에서 제2 기본형식과 면적형식의 변화를 계산한다.
• $ Z \geq c $ 인 경우에 대해 불변량 $ \frac{1}{8}(1 - c^2)|c(M(-c) - m)| $ 을 계산하며, 이를 질량 개시 함수와 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왕-유 준국소 질량은 비아디아 시공간에서 광선 무한대에서 질량의 국소적 특성화를 제공할 수 있는가?
• RQ2 비아디아 시공간에서 준국소 질량은 선형화된 슈바르츠실트 진동에서 관측된 것과 동일한 $ O(d^{-2}) $ 감쇠율을 보이는가?
• RQ3 질량 개시 함수에 어떤 조건이 성립할 경우 준국소 질량이 양수인가?
• RQ4 준국소 질량은 질량 손실과 무한대의 고리 기하학과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 비아디아 시공간에서 무한대의 고리에 정의된 불변량은 질량 개시 함수로 계산될 수 있는가?

주요 결과

• 비아디아 시공간에서 광선 무한대에 있는 단위 구면에서 준국소 질량은 $ O(d^{-2}) $ 로 감쇠되며, 선형화된 슈바르츠실트 진동에서 관측된 감쇠율과 일치한다.
• 준국소 질량은 $ E(\Sigma_d, X, T_0) = -\frac{1}{16\pi d^2} \int_{S^2} \partial_u M (1 - Z^2) \, dV_{S^2} + O(d^{-3}) $ 로 명시적으로 평가되며, 주요 항은 질량 개시 함수의 도함수에 의존한다.
• 질량 개시 함수 $ M(u) $ 가 단조 감소할 경우 준국소 질량은 양수이며, 양의 에너지에 대한 국소 기준을 제공한다.
• 무한대의 고리에 대한 불변량은 $ \frac{1}{8}(1 - c^2)|c(M(-c) - m)| $ 로 계산되며, 이는 $ u = -c $ 에서 비아디아 질량 개시 함수와 슈바르츠실트 질량 $ m $ 의 차이에 의존한다.
• 이 불변량은 경계가 $ \gamma_c $ 인 표면 $ \Sigma $ 의 선택과 무관하므로 기하학적 및 물리적 의미를 확인한다.
• 결과는 준국소 질량이 본드리 질량과 같은 전역 점근적 양보다 더 많은 국소 물리적 정보—특히 질량 손실과 단조성—을 포착할 수 있음을 확인한다.