[论文解读] Quasi-morphisms and quasi-states in symplectic topology

Michael Entov|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 50被引用 15

一句话总结

本文引入并研究了辛同胚群上的拟同态以及光滑函数代数上的拟态，揭示了其在 $C^0$-刚性、哈密顿动力系统和泊松括号性质中的作用。主要贡献在于构造了能检测非平凡几何与动力现象的卡拉比拟同态和辛拟态，包括霍弗及其他哈密顿范数的无界性，以及谱不变量的 $C^0$-连续性。

ABSTRACT

This is a survey about certain "almost homomorphisms" and "almost linear" functionals (called quasi-morphisms and quasi-states) in symplectic topology and their applications to Hamiltonian dynamics, functional-theoretic properties of Poisson brackets and algebraic and metric properties of symplectomorphism groups.

研究动机与目标

• 开发并应用拟同态与拟态作为工具，以揭示辛几何中隐藏的刚性现象。
• 通过 $C^0$-连续性与谱不变量的视角，理解泊松括号的函数论性质。
• 通过辛拟态与量子态之间的类比，探索辛拓扑与量子力学之间的联系。
• 利用部分卡拉比拟同态，建立辛同胚群上哈密顿范数（如 $ orm{ullet}_{U,0}$ 与 $ orm{ullet}_{U}$）的无界性。
• 为辛函数理论奠定基础，作为一种研究辛几何的新方法，即通过泊松代数的函数论性质来研究几何结构。

提出的方法

• 利用量子同调与谱不变量，在哈密顿群的万有覆盖上构造齐次拟同态。
• 定义辛拟态为 $C^inity(M)$ 上的泛函，满足齐次性、正性及对交换函数的可加性，灵感来自冯·诺依曼的量子态。
• 通过卡拉比拟同态与辛拟态之间的联系，证明谱不变量与范数的 $C^0$-连续性。
• 应用部分卡拉比拟同态，证明当存在不相交的重闭集时，范数 $ orm{ullet}_{U}$ 在 ${ m Ham}(M)$ 上无界。
• 通过拟同态的 $C^0$-连续性，证明霍弗范数在 ${ m Ham}(B^{2n})$ 上是 $C^0$-连续的。
• 使用平均化技巧与泊松代数中的函数方法，分析哈密顿动力系统与谱轮廓。

实验结果

研究问题

• RQ1 辛拟态与拟同态能否检测哈密顿动力系统中的 $C^0$-刚性现象？
• RQ2 谱不变量的 $C^0$-连续性与辛同胚群上拟同态的存在性之间有何关系？
• RQ3 部分卡拉比拟同态如何导致 ${ m Ham}(M)$ 上哈密顿范数的无界性？
• RQ4 辛拟态在 $C^inity(M)$ 上在多大程度上反映了量子力学结构？与线性态有何不同？
• RQ5 通过泊松括号的函数论研究，可发现哪些几何与动力现象？

主要发现

• 在 ${ m Ham}(B^{2n})$ 上的卡拉比拟同态是 $C^0$-连续的，这意味着集合 $igracevert orm{ullet}_{H} igracevert ext{ 在 } C^0 ext{-拓扑中是闭的}$。
• 在 ${ m Ham}(B^{2n})$ 上的霍弗范数是 $C^0$-连续的，这意味着对于任意 $c eq 0$，集合 $igracevert orm{ullet}_{H} igracevert ext{ 在 } C^0 ext{-拓扑中具有非空内部}$。
• 若存在部分卡拉比拟同态，且存在具有不相交邻域的不相交重闭集 $X$ 与 $Y$，则范数 $ orm{ullet}_{U}$ 在 ${ m Ham}(M)$ 上无界。
• 对于任意可平移的开集 $U$，若存在卡拉比拟同态，则范数 $ orm{ullet}_{U,0}$ 在 ${ m Ham}(M)$ 上无界。
• 与谱不变量相关的轮廓函数 $ ho(t)$ 在 $t \to 0$ 时表现出 $C^0$-刚性行为，尽管其几何意义尚不明确。
• 辛拟态是 $C^0$-连续的，并且在 ${ m Symp}_0(M)$ 作用下不变，且可通过对偶性由部分卡拉比拟同态导出。