[논문 리뷰] Quasi-regular representations and property RD

Adrien Boyer|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 02.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 반단순 리 군의 비균일 격자에서의 준정규 표현을 포함한 바나흐 표현에서 행렬 계수의 $L^1$-적분 가능성에 관해 성질 RD(빠른 감쇠)의 새로운 특성화를 수립한다. 이러한 표현들은 성질 RD를 만족하지 못하며, 이는 이러한 격자 내 순환 부분군의 지수적 성장으로 인해 약한 하리슈-찬드라 부등식도 위반된다.

ABSTRACT

We study \emph{property RD} in terms of rapid decay of matrix coefficients. We give new formulations of property RD in terms of a $L^{1}$-integra\-bility condition of a Banach representation. Combining this new definition with the existence of cyclic subgroups of exponential growth in non-uniform lattices in semisimple Lie groups, we deduce that there exist matrix coefficients associated to several kinds of quasi-regular representations which satisfy a "non-RD condition" for non-uniform lattices. We obtain also that such coefficients can not satisfy \emph{the weak inequality} of Harish-Chandra.

연구 동기 및 목표

• 바나흐 공간 표현에서 행렬 계수의 $L^1$-적분 가능성 조건을 이용해 성질 RD를 재형식화하는 것.
• 반단소 리 군의 비균일 격자에서의 준정규 표현이 성질 RD를 만족하는지 조사하는 것.
• 이러한 표현의 행렬 계수가 약한 하리슈-찬드라 부등식을 만족하는지 확인하는 것.
• 성질 RD의 실패가 비균일 격자 내 순환 부분군의 지수적 성장과 어떻게 연결되는지 밝혀내는 것.
• 준정규 표현에서 특정 양수의 행렬 계수가 빠른 감쇠 또는 약한 감쇠 추정을 만족할 수 없음을 밝혀내는 것.

제안 방법

• 단위표현 $\pi: G \to U(\mathcal{H})$ 에 의해 유도된 바나흐 공간 표현 $c: G \to U(\mathcal{L}^1(\mathcal{H}))$ 를 정의하며, $c(g)T = \pi(g)T\pi(g^{-1})$ 로 정의한다.
• 행렬 계수 $\langle c(g)S, T \rangle$ 의 $L^1$-적분 가능성과 $\langle \pi(g)\xi, \eta \rangle$ 의 $L^2$-적분 가능성 간의 네 가지 조건 간의 동치성을 증명하며, 측도 $d\mu = dg / (1+L(g))^d$ 를 사용한다.
• 표현 $L^2(G/H)$ 상에서 준정규 표현의 양수성에 의해, 성질 RD 조건을 양수 $\xi \in \mathcal{H}_+$ 에 대해 $\langle \lambda_{G/H}(g)\xi, \xi \rangle^2 / (1+L(g))^{d_\xi}$ 의 적분 가능성으로 줄일 수 있다.
• 무어의 에르고딕성 정리와 $G/H$ 에서 유한한 $G$-불변 측도의 부재를 이용해, 준정규 표현 $\lambda_{G/H}|_\Gamma$ 가 영이 아닌 불변 벡터를 가지지 않음을 보인다.
• 비균일 격자 내에서 지수적 성장을 보이는 순환 부분군의 존재를 이용해, 성질 RD 또는 약한 하리슈-찬드라 감쇠를 가정할 경우 모순을 이끌어낸다.
• 반단소 리 군에서 $\Xi(g)^2 / (1+L(g))^{d_0}$ 의 알려진 적분 가능성과 함께, 약한 감쇠를 가정하면 $\sum \langle \lambda_{G/H}(\gamma)\xi, \xi \rangle^2 / (1+L(\gamma))^{d_\xi}$ 의 발산과 모순되는 유한한 합이 도출됨을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 성질 RD는 연산자 노름 추정 대신 바나흐 표현에서 행렬 계수의 $L^1$-적분 가능성에 의해 동치적으로 특성화될 수 있는가?
• RQ2 반단소 리 군의 비균일 격자에서의 준정규 표현이 길이 함수에 대해 성질 RD를 만족하는가?
• RQ3 이러한 표현의 행렬 계수는 약한 하리슈-찬드라 부등식을 만족하는가?
• RQ4 순환 부분군의 지수적 성장은 이러한 표현에서 빠른 감쇠의 실패에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 유한한 불변 측도가 없는 비콤팩트 동차 공간에서 유래하는 양수 표현에서 성질 RD에 대한 구조적 장애는 무엇인가?

주요 결과

• 단위표현 $\pi$ 에 대해 성질 RD는 측도 $dg / (1+L(g))^d$ 하에서 단위 벡터 $S,T$ 에 대해 행렬 계수 $\langle c(g)S, T \rangle$ 의 $L^1$-적분 가능성과 동치이다.
• 측도 $L^2(X,m)$ 상의 양수 표현에 대해, 성질 RD는 어떤 $d_\xi \geq 1$ 과 모든 양수 $\xi \in \mathcal{H}_+$ 에 대해 $\int_G \frac{\langle \pi(g)\xi, \xi \rangle^2}{(1+L(g))^{d_\xi}} dg < \infty$ 를 만족할 때에만 성립한다.
• 반단소 리 군 $G$ 의 비균일 격자 $\Gamma$ 에 대해 준정규 표현 $\lambda_{G/H}|_\Gamma$ 는 $G/H$ 에서의 유한한 $G$-불변 측도의 부재로 인해 영이 아닌 불변 벡터를 가지지 않는다.
• 무한 순서를 가진 유니포텐트 원소 $u$ 가 생성하는 순환 부분군 $\mathbb{Z} \subset \Gamma$ 에 대해, 제약 $\lambda_{G/H}|_\mathbb{Z}$ 는 $\sum_{\gamma \in \mathbb{Z}} \frac{\langle \lambda_{G/H}(\gamma)\xi, \xi \rangle^2}{(1+L(\gamma))^{d_\xi}} = \infty$ 를 만족하는 어떤 양수 $\xi \in \mathcal{H}_+$ 가 존재하므로 성질 RD를 만족하지 못한다.
• 행렬 계수 $\langle \lambda_{G/H}(g)\xi, \xi \rangle$ 는 약한 하리슈-찬드라 부등식을 만족하지 못한다. 이는 부등식을 가정하면 발산하는 합과 $G$ 상에서 $\Xi(g)^2 / (1+L(g))^{d_0}$ 의 적분 가능성 사이의 모순이 발생하기 때문이다.
• 성질 RD 및 약한 감쇠의 실패는 비균일 격자 내 순환 부분군의 지수적 성장과 직접적으로 연결되어 있으며, 이는 행렬 계수에 대해 균일한 감쇠 속도가 존재하지 않음을 방지한다.