[논문 리뷰] Quasi-sure convergence theorem in p-variation distance for Gaussian sample paths

Horatio Boedihardjo, Xi Geng외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 03.

Stochastic processes and financial applications인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 장기적 기억을 가진 가우시안 과정과 관련된 기하학적 거친 길이의 마일리빈 유형의 준확실성 버전을 구성하여, 가우시안 표본 경로에 대한 p-변동 거리에서 준확실성 수렴 정리를 수립한다. 라이온스의 보편적 극한 정리와 용적에 대한 대규모 편리성 원리(대규모 편이 원리)를 사용하여, 이러한 과정에 의해 구동되는 확률미분방정식의 경로 기반 대규모 편이 결과를 도출하며, 요시다의 추상 위너 공간에서의 대규모 편이 원리(LDP)를 일반화한다.

ABSTRACT

We construct a quasi-sure version (in the sense of Malliavin) of geometric rough paths associated with a Gaussian process with long-time memory. As an application we establish a large deviation principle (LDP) for capacities for such Gaussian rough paths. Together with Lyons' universal limit theorem, our results yield immediately the corresponding results for pathwise solutions to stochastic differential equations driven by such Gaussian process in the sense of rough paths. Moreover, our LDP result implies the result of Yoshida on the LDP for capacities over the abstract Wiener space associated with such Gaussian process.

연구 동기 및 목표

• 마일리빈 해석학을 사용하여 장기적 기억을 가진 가우시안 과정에 대한 기하학적 거친 길이의 준확실성 버전을 개발한다.
• 이러한 가우시안 거친 길이와 관련된 용적에 대한 대규모 편이 원리(LDP)를 수립한다.
• 용적 기반 분석을 통해 추상 위너 공간에서의 요시다의 LDP를 거친 길이 설정으로 확장한다.
• LDP를 장기적 기억을 가진 가우시안 과정에 의해 구동되는 확률미분방정식의 경로 기반 해에 적용한다.

제안 방법

• 마일리빈 해석학 기법을 사용하여 기하학적 거친 길이의 준확실성 버전을 구성한다.
• p-변동 거리를 사용하여 가우시안 표본 경로의 수렴을 분석한다.
• 거친 길이 공간에서 용적에 대한 대규모 편이 원리를 도출한다.
• 라이온스의 보편적 극한 정리를 사용하여 용적에 대한 LDP 결과를 확률미분방정식의 경로 기반 해로 이전한다.
• 유도된 LDP를 추상 위너 공간 프레임워크에서 요시다의 결과와 비교한다.
• 용적 기반 분석을 사용하여 가우시안 과정의 비 마코프성 및 장기적 기억의 구조를 다룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 장기적 기억을 가진 가우시안 과정에 대해 마일리빈 해석학을 사용하여 기하학적 거친 길이의 준확실성 버전을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 이러한 가우시안 거친 길이와 관련된 용적에 대해 p-변동 거리에서 어떤 대규모 편이 원리가 성립하는가?
• RQ3 유도된 용적에 대한 LDP는 추상 위너 공간에서의 요시다의 LDP와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 이러한 과정에 의해 구동되는 확률미분방정식의 경로 기반 해는 대규모 편이 행동을 어느 정도 상속하는가?
• RQ5 라이온스의 보편적 극한 정리는 용적 기반 분석을 통해 거친 길이 용적에서의 LDP 결과를 확률미분방정식 해로 효과적으로 이전하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 마일리빈 해석학을 사용하여 장기적 기억을 가진 가우시안 과정에 대한 기하학적 거친 길이의 준확실성 버전이 성공적으로 구성되었다.
• 가우시안 과정의 거친 길이 업그레이드에 대해 p-변동 거리에서 용적에 대한 대규모 편이 원리가 수립되었다.
• 유도된 용적에 대한 LDP는 요시다의 추상 위너 공간에서의 LDP를 함의하며, 그 결과를 일반화한다.
• 용적에 대한 LDP는 라이온스의 보편적 극한 정리를 적용하여 가우시안 과정에 의해 구동되는 확률미분방정식의 경로 기반 대규모 편이 결과를 도출하는 데 기여한다.
• 결과는 장기적 기억을 가진 상황에서 거친 길이 관점에서의 확률미분방정식의 경로 기반 해를 분석하기 위한 강력한 프레임워크를 제공한다.