[논문 리뷰] Quasihyperbolic metric and Möbius transformations

Riku Klén, Матти Вуоринен외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 08. 15.

Analytic and geometric function theory참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $ℝ^n$의 단위 구내에서 모비우스 변환에 의한 쿼드라이퍼볼릭 거리의 날카운 불등식을 확립한다. 변환이 점 $a$ 를 고정할 경우, 거리의 변형 인자가 $1+|a|$ 및 $1/(1+|a|)$ 로 유계화됨을 증명한다. 또한 쿼드라이컨formal 사상 하에서 날카운 준불변성 성질을 증명하고, 쌍곡적 및 현수 거리와 같은 다른 거리와의 명시적 유계를 유도한다.

ABSTRACT

An improved version of quasiinvariance property of the quasihyperbolic metric under Möbius transformations of the unit ball in ${\mathbb R}^n, n \ge 2,$ is given. Next, a quasiinvariance property, sharp in a local sense, of the quasihyperbolic metric under quasiconformal mappings is proved. Finally, several inequalities between the quasihyperbolic metric and other commonly used metrics such as the hyperbolic metric of the unit ball and the chordal metric are established.

연구 동기 및 목표

• 단위 구 $ℚ^n$ 내에서 모비우스 변환에 의한 쿼드라이퍼볼릭 거리의 기존 준불변성 성질을 향상시키기 위해.
• 쿼드라이컨포멀 사상 하에서 쿼드라이퍼볼릭 거리의 날카운 국소 준불변성 성질을 확립하기 위해.
• 단위 구의 쌍곡적 거리 및 현수 거리와의 비교를 위한 명시적 불등식을 도출하기 위해.
• $\mathbb{R}^n \setminus \{z\}$ 내에서 현수 거리와 쿼드라이퍼볼릭 거리 간 비교에 있어서 최적 상수에 대한 열린 문제를 해결하기 위해.

제안 방법

• 고정점 $a$ 를 갖는 $\mathbb{B}^n$ 의 모비우스 자기사상에 대해 개선된 준불변성 추정을 증명하여, 거리 왜곡에 대해 $1+|a|$ 와 $1/(1+|a|)$ 의 유계를 보여준다.
• K-쿼드라이컨포멀 사상에 대해 슈바르츠 보조정리 및 쿼드라이심메트리 함수의 명시적 날카운 유계를 사용하여 준불변성 결과를 도출한다.
• 쿼드라이퍼볼릭 거리 유계의 비교 도구로 거리 비율 거리 $j_D(x,y) = \log\left(1 + \frac{|x-y|}{\min\{d(x),d(y)\}}\right)$ 를 적용한다.
• $\mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ 내에서 쿼드라이퍼볼릭 거리의 알려진 명시적 공식을 활용한다: $k_{\mathbb{R}^n \setminus \{0\}}(x,y) = \sqrt{\theta^2 + \log^2(|x|/|y|)}$, 여기서 $\theta$ 는 원점에서의 각도이다.
• 현수 거리 $q(x,y) = \frac{|x-y|}{\sqrt{(1+|x|^2)(1+|y|^2)}}$ 를 $x,y \neq \infty$ 에 대해 사용하고, 쿼드라이퍼볼릭 거리와의 최대 비율을 유도한다.
• 기술적 보조정리를 사용하여 $\frac{(r+s+a)^2}{(1+r^2)(1+s^2)}$ 의 최대값을 구해 $\left(\frac{a + \sqrt{4+a^2}}{2}\right)^2$ 를 도출하고, 비율 $q(x,y)/k_G(x,y)$ 를 유계화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단위 구의 모비우스 변환 하에서 쿼드라이퍼볼릭 거리의 준불변성에 있어서 최적 상수는 무엇인가?
• RQ2 쿼드라이컨포럴 사상 하에서 쿼드라이퍼볼릭 거리에 대해 날카운 국소 준불변성 성질을 확립할 수 있는가?
• RQ3 모든 $x,y \in \mathbb{R}^n \setminus \{z\}$ 에 대해 $q(x,y) \leq c \cdot k_G(x,y)$ 를 만족하는 최적 상수 $c$ 는 무엇인가?
• RQ4 구멍이 난 공간 $\mathbb{R}^n \setminus \{z\}$ 에서 쿼드라이퍼볼릭 거리와 현수 거리는 어떻게 비교되는가?
• RQ5 모비우스 맵에 대한 고전적 준불변성 유계에서 상수 $2$ 는 날카로운가, 아니면 향상시킬 수 있는가?

주요 결과

• 모비우스 맵 $h$ 가 $h(a) = 0$ 를 만족할 경우, $\mathbb{B}^n$ 상의 쿼드라이퍼볼릭 거리는 $\frac{1}{1+|a|}k_{\mathbb{B}^n}(x,y) \leq k_{\mathbb{B}^n}(h(x),h(y)) \leq (1+|a|)k_{\mathbb{B}^n}(x,y)$ 를 만족하며, 상수 $1+|a|$ 와 $1/(1+|a|)$ 는 날카롭다.
• 고전적 준불변성 유계에서 상수 $2$ 는 균일하게 향상시킬 수 없으며, 최적 상수는 고정점 $a$ 에 따라 달라지며, $|a| \to 1$ 일 때 $\infty$ 로 수렴한다.
• 구멍이 난 공간 $\mathbb{R}^n \setminus \{z\}$ 에서 부등식 $q(x,y) \leq c \cdot k_G(x,y)$ 의 최적 상수는 $\frac{|z| + \sqrt{1 + |z|^2}}{2}$ 이며, 이 유계는 극한에서 도달된다.
• 비율 $\sup_{x,y \in \mathbb{R}^n \setminus \{z\}, x \neq y} \frac{q(x,y)}{k_G(x,y)} = \frac{|z| + \sqrt{1 + |z|^2}}{2}$ 는 $x,y \to (-\sqrt{1+|z|^2} + |z|) \frac{z}{|z|}$ 일 때 도달된다.
• $\mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ 에서 $\frac{1}{2}$ 의 유계는 클렌이 이전에 발견한 결과로, $z=0$ 일 때 일반 결과의 특수한 경우이다.
• 이 논문은 모비우스 맵 하에서 쿼드라이퍼볼릭 거리의 고전적 준불변성 상수 $2$ 가 최적이 아니며, 고정점 $a$ 에 따라 달라지게 개선될 수 있음을 확인한다.