[논문 리뷰] Qudit circuits with SU(d) symmetry: Locality imposes additional conservation laws

Iman Marvian, Hanqing Liu외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 05. 26.

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 d ≥ 3인 경우, SU(d) 대칭을 가진 큐디트 시스템에서 2-로컬 SU(d)-불변 유니터리 회로는 노이터 정리에서 유도되는 보존 법칙 이외의 추가 보존 법칙으로 인해, 전체 SU(d)-불변 유니터리의 제한된 부분집합을 생성함을 보여준다. 이러한 잠재적 보존 법칙은 기저 표현 부분공간 내에서 동역학을 제약하며, 이로 인해 회로에 의해 생성된 분포가 2-디자인이나 하르 측도로 수렴하지 못함을 의미한다. 이는 d=2(큐비트)의 경우와는 다름.

ABSTRACT

Local symmetric quantum circuits provide a simple framework to study the dynamics and phases of complex quantum systems with conserved charges. However, some of their basic properties have not yet been understood. Recently, it has been shown that such quantum circuits only generate a restricted subset of symmetric unitary transformations [I. Marvian, Nature Physics, 2022]. In this paper, we consider circuits with 2-local SU(d)-invariant unitaries acting on qudits, i.e., d-dimensional quantum systems. Our results reveal a significant distinction between the cases of d = 2 and d>2. For qubits with SU(2) symmetry, arbitrary global rotationally-invariant unitaries can be generated with 2-local ones, up to relative phases between the subspaces corresponding to inequivalent irreducible representations (irreps) of the symmetry, i.e., sectors with different angular momenta. On the other hand, for d>2, in addition to similar constraints on the relative phases between the irreps, locality also restricts the generated unitaries inside these conserved subspaces. These constraints impose conservation laws that hold for dynamics under 2-local SU(d)-invariant unitaries, but are violated under general SU(d)-invariant unitaries. Based on this result, we show that the distribution of unitaries generated by random 2-local SU(d)-invariant unitaries does not converge to the Haar measure over the group of all SU(d)-invariant unitaries, and in fact, for d>2, is not even a 2-design for the Haar distribution.

연구 동기 및 목표

• 큐디트 시스템에서 SU(d) 대칭을 가진 국소적 동역학이 유니터리 회로에 미치는 제약을 이해하기 위해.
• d ≥ 3일 때 2-로컬 SU(d)-불변 유니터리가 모든 SU(d)-불변 유니터리 변환을 생성할 수 있는지 확인하기 위해.
• 랜덤 2-로컬 SU(d)-불변 회로에 의해 생성된 유니터리 분포가 하르 측도로 수렴하거나 2-디자인을 형성하는지 결정하기 위해.
• 국소성으로 인해 발생하는 SU(d) 대칭 시스템에서 새로운 보존 법칙을 밝혀내기 위해, 특히 d=2와 d≥3의 경우를 구분하기 위해.

제안 방법

• SU(d)의 표현 이론을 사용하여 2-로컬 SU(d)-불변 게이트에 의해 생성된 유니터리의 군 구조를 분석함.
• 큐디트-페르미온 대응을 통해 보존량을 식별함. 큐디트 시스템을 비호모제닉 보존 법칙을 가진 효과적인 페르미온 모형으로 매핑함.
• 2-로컬 SU(d)-불변 유니터리에 대해 불변이지만 일반 SU(d)-불변 유니터리에 대해선 불변이 아닌 명시적 함수를 구성함으로써 새로운 보존 법칙을 드러냄.
• SU(d)-불변 게이트의 생성자에 대한 리 대수의 구조를 사용하여 생성된 유니터리 군에 대한 대수적 제약 조건을 특성화함.
• 디자인 이론 기준(예: 2-디자인)을 통해 회로에 의해 생성된 유니터리 분포를 SU(d)-불변 유니터리 군 상의 하르 측도와 비교함.
• 결과 [3]과 [29]를 활용하여 전치와 관련된 리 부분대수를 완전히 특성화하고, 이를 새로운 보존 법칙과 연결함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 d ≥ 3일 때 2-로컬 SU(d)-불변 유니터리 회로는 모든 SU(d)-불변 유니터리를 생성하는가, 아니면 추가 제약 조건이 존재하는가?
• RQ2 SU(d)-대칭 큐디트 회로에서 d=2와 d≥3의 경우 보존 법칙은 어떻게 다를까?
• RQ3 국소성으로 인해 발생하는 SU(d)-불변 큐디트 시스템에서 새로운, 노이터가 아닌 보존 법칙이 존재하는가?
• RQ4 랜덤 2-로컬 SU(d)-불변 회로에 의해 생성된 유니터리 분포가 SU(d)-불변 유니터리 군 상의 하르 측도로 수렴하는가?
• RQ5 d ≥ 3일 때 회로에 의해 생성된 유니터리 집합은 SU(d)-불변 유니터리 군 상의 하르 분포에 대해 2-디자인인가?

주요 결과

• d ≥ 3인 경우, 2-로컬 SU(d)-불변 유니터리 회로는 기저 표현 간 상대 위상 제약 조건 이외의 추가 보존 법칙으로 인해 전체 SU(d)-불변 유니터리의 진부분군을 생성함.
• 이 새로운 보존 법칙은 기저 표현 부분공간 내에서도 동역학을 제약하며, 이는 d=2(SU(2))의 경우에 존재하지 않는 현상임.
• d ≥ 3인 경우, 랜덤 2-로컬 SU(d)-불변 회로에 의해 생성된 유니터리 분포는 SU(d)-불변 유니터리 군 상의 하르 측도로 수렴하지 않음.
• d ≥ 3인 경우, 회로에 의해 생성된 유니터리 집합은 하르 분포에 대해 2-디자인조차 되지 않으며, 이는 균일성에서의 근본적 이탈을 시사함.
• 보존 법칙은 큐디트-페르미온 대응을 통해 드러나며, 이에 따르면 2-로컬 SU(d) 회로는 비상호작용 페르미온 시스템으로 매핑되지만, 3-로컬 회로는 상호작용 시스템으로 매핑됨.
• 2-로컬 SU(d)-불변 게이트에 의해 생성되는 전체 군은 세 가지 유형의 제약 조건으로 특성화됨: 기저 표현 간 상대 위상 제약, Z₂ 대칭 제약, 큐디트-페르미온 대응 기반 보존 법칙.