[논문 리뷰] Quiver varieties and a non-commutative P^2

Vladimir Baranovsky, Victor Ginzburg외 1명|ArXiv.org|2001. 03. 12.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 14인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 유한부분군 $\Gamma \subset SL_2(\mathbb{C})$와 그 군 대수의 중심에 속하는 원소 $\tau$에 관련된 쿠이버 다양체와 변형된 전프로젝티브 대수를 이용하여 비가환 프로젝티브 평면 $\mathbb{P}^2_{\Gamma,\tau}$를 구축한다. 비가환 $\mathbb{P}^2$ 위의 토퍼션 프리 층의 모듈리 공간과 나카지마의 쿠이버 다양체 사이의 이sovorphism를 비가환 층의 모나딕 기술을 통해 확립함으로써 크로우리-보이비와 올랜드의 추측의 일반화된 형태를 증명한다.

ABSTRACT

To any finite group G in SL_2(C), and each `t' in the center of the group algebra of G, we associate a category, Coh_t. It is defined as a suitable quotient of the category of graded modules over (a graded version of) the deformed preprojective algebra introduced by Crawley-Boevey and Holland. The category Coh_t should be thought of as the category of coherent sheaves on a `noncommutative projective 2-space', equipped with a framing at the line at infinity. Our first result establishes an isomorphism between the moduli space of torsion free objects of Coh_t and the Nakajima quiver variety arising from G via the McKay correspodence. We apply the above isomorphism to deduce generalized Crawley-Boevey & Holland conjecture, saying that the moduli space of `rank 1' projective modules over the deformed preprojective algebra is isomorphic to a particular quiver variety. This reduces, for G=1, to the recently obtained parametrisation of the isomorphism classes of right ideals in the first Weyl algebra, A_1, by points of the Calogero-Moser space, due to Cannings-Holland and Berest-Wilson. Our approach is algebraic and is based on a monadic description of torsion free sheaves on the noncommutative projective 2-space. It is totally different from the one used by Berest-Wilson, involving $τ$-functions.

연구 동기 및 목표

• 쿠이버 자료와 변형된 전프로젝티브 대수를 이용하여 $\mathbb{P}^2$의 비가환 동반체를 대수적으로 정의하는 것.
• 이 비가환 $\mathbb{P}^2$ 위의 코herent 층과 그라디에이션 모듈러스의 몫분류 사이의 카테고리적 동치를 확립하는 것.
• 맥케이 대응을 통해 $\mathbb{P}^2_{\Gamma,\tau}$ 위의 토퍼션 프리 층의 모듈리 공간이 나카지마의 쿠이버 다양체와 이sovomorphic임을 증명하는 것.
• 변형된 전프로젝티브 대수 위의 랭크 1 프로젝티브 모듈러스의 모듈리에 관한 크로우리-보이비와 올랜드의 추측을 일반화하는 것.

제안 방법

• 강한 정규 그라디에이션 대수 $A$를 이용하여, 그라디에이션 모듈러스의 토피컬 부분군에 대한 몫분류인 $\mathop{\mathrm{qgr}}(A)$ 카테고리로 비가환 $\mathbb{P}^2$ 위의 코herent 층을 정의한다.
• 유한한 전반적 차원과 고렌스타인 성질을 보장하는 $\Gamma$와 $\tau$에 관련된 변형된 전프로젝티브 대수의 그라디에이션 형태로 대수 $A$를 구성한다.
• 쿠이버의 표현과 관련된 비가환 $\mathbb{P}^2_{\Gamma,\tau}$ 위의 토퍼션 프리 층의 모나딕 기술을 적용하여 이들을 연결한다.
• 맥케이 대응을 활용하여 $\Gamma$의 표현 이론과 쿠이버 다양체의 기하학을 연결한다.
• $\chi$-조건과 무게 격자 위의 카르탕 연산자 $C$의 성질을 이용하여 최소 무게와 특수 정점들을 분류한다.
• 분해 ${{\sf{\hat{P}}}} = {\mathsf{P}} \oplus \mathbb{Z} \cdot \omega_v$ 와 사영 $\mathtt{pr}$을 이용하여 ${{\hat{\theta}}^\vee}(\omega) = 1$ 를 만족하는 무게의 분류를 유한형 루트 시스템으로 환원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 쿠이버 자료와 변형된 전프로젝티브 대수를 이용하여 비가환 $\mathbb{P}^2$를 어떻게 대수적으로 정의할 수 있는가?
• RQ2 이 비가환 $\mathbb{P}^2$ 위의 토퍼션 프리 층의 모듈리 공간과 나카지마의 쿠이버 다양체 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 코herent 층의 모나딕 접근법을 통해 일반화된 크로우리-보이비와 올랜드의 추측을 증명할 수 있는가?
• RQ4 확장된 딘킨 다이어그램의 최소 무게와 특수 정점은 1차원 $\Gamma$-모듈러스의 분류와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 무게 격자에서의 사영 $\mathtt{pr}: \widehat{P} \to \mathsf{P}$는 어떤 역할을 하여 무게의 분류를 유한형 루트 시스템으로 환원하는가?

주요 결과

• 모듈리 공간 $\mathcal{C}\!oh(\mathbb{P}^2_{\Gamma,\tau}, \mathbb{P}^1)$ 내의 토퍼션 프리 대상들의 모듈리 공간은 맥케이 대응을 통해 $\Gamma$에 관련된 나카지마 쿠이버 다양체와 이sovomorphic이다.
• 카테고리 $\mathcal{C}\!oh(\mathbb{P}^2_{\Gamma,\tau}, \mathbb{P}^1)$는 변형된 전프로젝티브 대수 위의 그라디에이션 모듈러스의 몫으로 정의되며, 이는 $\mathbb{P}^2$ 위의 코herent 층의 비가환 동반체를 제공한다.
• 이sovorphism는 이전 연구에서 사용된 $\tau$-함수 방법을 피하는 비가환 층의 모나딕 기술을 통해 확립된다.
• 일반화된 크로우리-보이비와 올랜드의 추측이 증명된다: 변형된 전프로젝티브 대수 위의 랭크 1 프로젝티브 모듈러스의 모듈리 공간은 특정한 쿠이버 다양체와 이sovomorphic이다.
• $\Gamma = \{1\}$일 경우, 결과는 첫 번째 와일 대수 $\mathsf{A}_1$의 오른쪽 아이디얼의 동형류의 매개화를 칼로제로-모저 공간의 점들로 회복한다.
• $\widehat{P}$ 내의 무게 $\omega$ 중 ${{\hat{\theta}}^\vee}(\omega) = 1$ 을 만족하는 것들의 분류는 유일한 분해 $\omega = \omega_i + C(\omega^{\prime\prime})$ 로 환원되며, 여기서 $i$는 특수 정점 또는 $v$이며, $\omega^{\prime\prime} \in \mathsf{P}$ 이다.