[논문 리뷰] Quiver varieties and Hilbert schemes

Alexander Kuznetsov|ArXiv.org|2001. 11. 08.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 7인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 메이케이 상호작용을 통해, $\Gamma$-equivariant Hilbert 스킴 $\mathbb{C}^2$ 위와 $\mathbb{C}^2/\Gamma$의 최소 해소 위의 Hilbert 스킴이라는 두 기하적 대상이, 애파인 다이킨 다이어그램에 관련된 퀘이버 다양체와 동형임을 규명한다. 이 동형은 매개변수 $\zeta_{\mathbb{R}}$가 $\mathbb{R}^d$의 서로 다른 챔버에 위치할 때 달라지며, $\mathbf{C}_+$에서는 $\Gamma$-equivariant Hilbert 스킴을, $\mathbf{C}_-(n)$에서는 해소 위의 Hilbert 스킴을 얻는다. 이는 미분동형성을 암시하고, 균일하게 색칠된 영이 다이어그램과 총 크기가 $n$인 $d$개의 영이 다이어그램 집합 사이의 새로운 조합적 항등식을 이끌어낸다. 이 결과는 퀘이버 다양체의 모듈리 공간 해석과 토루스 고정점 분석을 통해 유도된다.

ABSTRACT

In this note we give an explicit geometric description of some of the Nakajima's quiver varieties. More precisely, we show that the $Γ$-equivariant Hilbert scheme $X^{Γ[n]}$ and the Hilbert scheme $X_Γ^{[n]}$ (where $X=\C^2$, $Γ\subset SL(\C^2)$ is a finite subgroup, and $X_Γ$ is a minimal resolution of $X/Γ$) are quiver varieties for the affine Dynkin graph, corresponding to $Γ$ via the McKay correspondence, the same dimension vectors, but different parameters $ζ$ (for earlier results in this direction see [4, 12, 13]). In particular, it follows that the varieties $X^{Γ[n]}$ and $X_Γ^{[n]}$ are diffeomorphic. Computing their cohomology (in the case $Γ=\Z/d\Z$) via the fixed points of $(\C^* imes\C^*)$-action we deduce the following combinatorial identity: the number $UCY(n,d)$ of uniformly coloured in d colours Young diagrams consisting of nd boxes coincides with the number $CY(n,d)$ of collections of d Young diagrams with the total number of boxes equal to n.

연구 동기 및 목표

• 퀘이버 다양체와 두 종류의 Hilbert 스킴, 즉 $X^{\Gamma[n]}$과 $X_{\Gamma}^{[n]}$ 사이의 기하적 동형을 확립하는 것.
• 이 동형관계가 매개변수 $\zeta_{\mathbb{R}}$가 $\mathbb{R}^d$의 서로 다른 챔버에 위치할 때 달라지는지 보여주는 것.
• $\Gamma$-equivariant Hilbert 스킴 $X^{\Gamma[n]}$과 해소 위의 Hilbert 스킴 $X_{\Gamma}^{[n]}$이 그들의 퀘이버 다양체 구조를 통해 미분동형임을 증명하는 것.
• 토루스 고정점의 코homology를 이용하여, 균일하게 색칠된 영이 다이어그램과 총 크기가 $n$인 $d$개의 영이 다이어그램 집합 사이의 새로운 조합적 항등식을 유도하는 것.

제안 방법

• 이중 퀘이버의 표현 모듈리 공간으로서 퀘이버 다양체를 해석하는 Crawley-Boevey의 접근법을 사용하는 것.
• 유한부분군 $\Gamma \subset SL(\mathbb{C}^2)$를 애파인 다이킨 다이어그램과 연결하기 위해 메이케이 상호작용을 적용하는 것.
• Hilbert 스킴 위의 $\mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^*$ 작용을 분석하여 고정점을 영이 다이어그램을 통해 분류하는 것.
• $X^{\Gamma[n]}$의 고정점을 균일하게 색칠된 영이 다이어그램(각 대각선 색상에 동일한 상자 수)으로 식별하는 것.
• $X_{\Gamma}^{[n]}$의 고정점을 총 상자 수가 $n$이 되는 $d$개의 영이 다이어그램의 순서있는 집합으로 식별하는 것.
• 고정점 수를 세어 코homology 차원을 계산하고, 이를 바탕으로 조합적 항등식을 유도하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특정 매개변수 선택에서 퀘이버 다양체가 $\mathbb{C}^2$ 위의 $\Gamma$-equivariant Hilbert 스킴과 동형이 되는가?
• RQ2 최소 해소 위의 Hilbert 스킴 $X_{\Gamma}$는 다른 매개변수 영역에서 퀘이버 다양체로 표현될 수 있는가?
• RQ3 $X^{\Gamma[n]}$ 위의 $\Gamma$-불변 고정점의 수가 총 상자 수가 $n$이 되는 $d$-튜플의 영이 다이어그램 수와 같은가?
• RQ4 대각선 색상에 따라 균일하게 색칠된 영이 다이어그램과 총 크기가 $n$인 $d$개의 영이 다이어그램 집합 사이에 조합적 항등식이 존재하는가?
• RQ5 Calogero-Moser 공간은 $\Gamma$-고정점에 의해 $\Gamma$-equivariant 설정에서 퀘이버 다양체와 관련이 있는가?

주요 결과

• 매개변수 $\zeta_{\mathbb{R}} \in \mathbf{C}_+$일 때, 퀘이버 다양체 $\mathfrak{M}_{(0,\zeta_{\mathbb{R}})}(n\mathbf{v}^0, \mathbf{w}^0)$는 $\Gamma$-equivariant Hilbert 스킴 $X^{\Gamma[n]}$과 동형이다.
• 동일한 퀘이버 다양체는 $\zeta_{\mathbb{R}} \in \mathbf{C}_-(n)$일 때, 해소 위의 Hilbert 스킴 $X_{\Gamma}^{[n]}$과 동형이다.
• $X^{\Gamma[n]}$과 $X_{\Gamma}^{[n]}$은 공통된 퀘이버 다양체 구조를 지니므로 미분동형이다.
• $X^{\Gamma[n]}$ 위의 $\Gamma$-불변 고정점의 수는 각 색상에 $n$개 상자가 있는 균일하게 색칠된 영이 다이어그램의 수와 같으며, 이를 $UCY(n,d)$로 표기한다.
• $X_{\Gamma}^{[n]}$ 위의 고정점 수는 총 상자 수가 $n$이 되는 $d$개의 영이 다이어그램 튜플의 수와 같으며, 이를 $CY(n,d)$로 표기한다.
• 모든 $n,d > 0$에 대해 $UCY(n,d) = CY(n,d)$가 성립하며, 이는 토루스 고정점 분석을 통한 코homology 차원 비교에 의해 증명된다.