[论文解读] Quotient families of mapping classes

Eriko Hironaka|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 24被引用 7

一句话总结

本文将映射类的商族作为Penner轮构造的推广，表明它们对应于双曲3-流形的纤维化面内的线性线段。通过将这些族嵌入Thurston-Fried-McMullen的纤维化面框架中，作者能够计算全局不变量——如亚历山大多项式与泰希缪勒多项式——从而确定映射类的同调与几何伸张系数。

ABSTRACT

Thurston's fibered face theory allows us to partition the set of pseudo-Anosov mapping classes on different compact oriented surfaces into subclasses with related dynamical behavior. This is done via a correspondence between the rational points on fibered faces in the first cohomology of a hyperbolic 3-manifold and the monodromies of fibrations of the 3-manifold over the circle. In this paper, we generalize examples of Penner, and define quotient families of mapping classes. We show that these mapping classes correspond to open linear sections of fibered faces. The construction gives a simple way to produce families of pseudo-Anosov mapping classes with bounded normalized dilatation and computable invariants, and gives concrete examples of mapping classes associated to sequences of points tending to the interior and to the boundary of fibered faces.

研究动机与目标

• 将Penner的伪阿诺索夫映射类构造（Penner轮）推广为更广泛的映射类类，称为商族。
• 将这些商族嵌入3-流形的纤维化面理论中，以系统研究其动力学不变量。
• 为相关3-流形的全局不变量（如亚历山大多项式与泰希缪勒多项式）提供一个计算框架。
• 利用泰希缪勒多项式分析商族中映射类的伸张系数，特别是在双曲情形下。
• 研究小伸张系数族的伪阿诺索夫映射类是否包含在有限个商族或准周期结构的并集中。

提出的方法

• 定义一个模板 $(\widetilde{S}, \widetilde{\zeta}, \widetilde{\eta})$，包括一个无限类型曲面 $\widetilde{S}$，一个无不动点且在紧致集上离散的 $\mathbb{Z}$-作用 $\widetilde{\zeta}$，以及一个具有有限宽度 $m_0$ 的紧支集同胚 $\widetilde{\eta}$。
• 对每个有理数 $\mathfrak{c} = \frac{k}{n} \in (0, \frac{1}{m_0})$，构造商映射类 $\widetilde{\phi}_{\mathfrak{c}} = \widetilde{\zeta}^{\overline{k}_n} \circ \widetilde{\eta}_n$，其中 $\widetilde{\eta}_n$ 是 $\widetilde{\eta}$ 的 $n$ 次 $\widetilde{\zeta}$-平移。
• 证明每个商族 $Q(\widetilde{S}, \widetilde{\zeta}, \widetilde{\eta})$ 对应于一个纤维化3-流形 $M$ 的纤维化面内的一条线性线段。
• 利用纤维化面结构，直接计算3-流形 $M$ 的亚历山大多项式，且在双曲情形下，计算其泰希缪勒多项式。
• 应用泰希缪勒多项式，通过其首项系数计算商族中映射类的伸张系数 $\lambda(\phi)$。
• 建立商族与纤维化3-流形的单值表示之间的对应关系，借助Thurston-Fried-McMullen理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将Penner型映射类推广为更广泛的映射类族，使其仍可通过纤维化面理论计算不变量？
• RQ2 映射类的商族是否对应于3-流形纤维化面内的线性线段？若成立，该对应关系如何构建？
• RQ3 纤维化面的泰希缪勒多项式能否用于计算商族中映射类的伸张系数？
• RQ4 具有小归一化伸张系数的映射类族是否包含在有限个商族或准周期结构的并集中？
• RQ5 对于反向Penner序列 $\phi_{\frac{n-1}{n}}$，其归一化伸张系数 $L(S,\phi) = \lambda(\phi)^{|\chi(S)|}$ 的渐近行为如何？

主要发现

• 证明了映射类的商族位于双曲3-流形的纤维化面内的线性线段上，从而为几何与动力学分类提供了框架。
• 关联3-流形 $M$ 的亚历山大多项式可直接从商族结构中计算得出，从而可提取全局拓扑不变量。
• 在双曲3-流形情形下，纤维化面的泰希缪勒多项式通过其首项系数给出商族中每个映射类的伸张系数。
• 反向Penner序列 $\phi_{\frac{n-1}{n}}$ 对应一个非稳定商族，其归一化伸张系数满足 $\lim_{n\to\infty} L(S_{\frac{n-1}{n}}, \phi_{\frac{n-1}{n}}) = \infty$。
• Penner型序列与商族具有强 $\kappa$-准周期性，其中 $\kappa = m_1|\chi(\Sigma)|$；且[HK]与[Hir]中的小伸张系数族在较弱意义下为准周期性。
• 该框架支持一个猜想：小伸张系数族可能包含于有限个商族的并集中，但一般情形下的完全包含性仍为开放问题。