[논문 리뷰] Radial symmetry of positive solutions involving the fractional Laplacian

Patricio Felmer, Ying Wang|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 27.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 21인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 최근의 ABP 추정과 절단 기법을 활용하여 비국소적 성격을 지닌 연산자인 분수라플라스 연산자를 포함하는 타원형 방정식의 양해에 대해 이동 평면 방법을 적용함으로써, 반지름 대칭성과 단조성의 성립을 증명한다. 주요 결과는 비선형성과 1차 항에 대해 적절한 조건이 만족될 경우, 단위 구내의 해가 반지름 방향으로 반지름 대칭이며 엄격히 감소함을 보여준다.

ABSTRACT

The aim of this paper is to study radial symmetry and monotonicity properties for positive solution of elliptic equations involving the fractional Laplacian. We first consider the semi-linear Dirichlet problem (-Δ)^α u=f(u)+g,\ \ { m{in}}\ \ B_1, \quad u=0\ \ { m in}\ \ B_1^c, where $(-Δ)^α$ denotes the fractional Laplacian, $α\in(0,1)$, and $B_1$ denotes the open unit ball centered at the origin in $\R^N$ with $N\ge2$. The function $f:[0,\infty) o\R$ is assumed to be locally Lipschitz continuous and $g: B_1 o\R$ is radially symmetric and decreasing in $|x|$. In the second place we consider radial symmetry of positive solutions for the equation (-Δ)^α u=f(u),\ \ { m{in}}\ \ \R^N, with $u$ decaying at infinity and $f$ satisfying some extra hypothesis, but possibly being non-increasing. Our third goal is to consider radial symmetry of positive solutions for system of the form (-Δ)^{α_1} u=f_1(v)+g_1,\ \ \ \ & { m{in}}\quad B_1,\\[2mm] (-Δ)^{α_2} v=f_2(u)+g_2,\ \ \ \ & { m{in}} \quad B_1,\\[2mm] u=v =0,\ \ \ \ & { m{in}}\quad B_1^c, where $α_1,α_2\in(0,1)$, the functions $f_1$ and $f_2$ are locally Lipschitz continuous and increasing in $[0,\infty)$, and the functions $g_1$ and $g_2$ are radially symmetric and decreasing. We prove our results through the method of moving planes, using the recently proved ABP estimates for the fractional Laplacian. We use a truncation technique to overcome the difficulty introduced by the non-local character of the differential operator in the application of the moving planes.

연구 동기 및 목표

• 유계 영역 내에서 분수라플라스 연산자를 포함하는 비선형 타원형 방정식의 양해에 대한 반지름 대칭성과 단조성 성질을 확립하는 것.
• 분수라플라스 연산자와 같은 비국소 연산자에 대해 이동 평면 방법을 확장하여 그 비국소적 성격으로 인한 도전 과제를 극복하는 것.
• 반지름 대칭적이고 감소하는 1차 항을 가진 방정식에 대해 단위 구 내 해의 대칭성을 분석하는 것.
• 증가하는 비선형성과 대칭적인 외력 항을 가진 분수라플라스 연립방정식의 대칭성에 대해 연구하는 것.
• ABP 추정과 절단 기법을 통해 일반적인 적분미분방정식에 적용 가능한 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 이동 평면 방법을 분수라플라스 연산자 설정에 적용하여 초평면을 기준으로 반사 논증을 사용한다.
• 비국소 연산자에 대해 최근에 개발된 알렉산드로프-바켈레프-푸치(ABP) 추정을 활용하여 소규모 영역 내 해를 제어한다.
• 이동 평면 절차 동안 분수라플라스 연산자의 비국소성을 다루기 위해 절단 기법을 도입한다.
• 분수라플라스 연산자를 특수 적분형 연산자로 표현한다: $(-\Delta)^\alpha u(x) = \mathrm{P.V.} \int_{\mathbb{R}^N} \frac{u(x)-u(y)}{|x-y|^{N+2\alpha}} dy$.
• narrow 도메인 내 비교 원리와 최대원리를 적용하여 대칭성과 단조성을 도출한다.
• 핵 함수의 성질과 대칭성 가정에 기반하여 비국소 방정식에 대해 이동 평면 방법의 적분형을 적응시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단위 구 내 분수라플라스 방정식의 양해가 반지름 대칭성을 보일 조건은 무엇인가?
• RQ2 이동 평면 방법은 분수라플라스 연산자와 같은 비국소 연산자에 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ3 1차 항 $g$ 의 단조성과 반지름 대칭성이 해의 대칭성에 미치는 역할은 무엇인가?
• RQ4 증가하는 비선형성을 가진 분수라플라스 연립방정식에 대해 반지름 대칭성을 확립할 수 있는가?
• RQ5 분수라플라스 연산자의 비국소적 성격은 고전적 대칭 방법인 이동 평면 방법의 적용에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 단위 구 $B_1$ 내에서 $(-\Delta)^\alpha u = f(u) + g$ 를 만족하는 양해는, $f$ 가 국소 리프시츠 조건을 만족하고 $g$ 가 반지름 대칭적이며 감소함을 만족할 경우, $r \in (0,1)$ 에서 반지름 방향으로 반지름 대칭적이며 엄격히 감소한다.
• ABP 추정과 절단 기법을 결합한 이동 평면 방법은 분수라플라스 연산자의 비국소적 성격에도 불구하고 대칭성을 성공적으로 확립한다.
• $\mathbb{R}^N$ 내에서 $u$ 가 무한대에서 감소하고 $f$ 가 온건한 조건을 만족할 경우, 방정식 $(-\Delta)^\alpha u = f(u)$ 에 대해 동일한 프레임워크 하에서 반지름 대칭성이 유지된다.
• 비선형성 $f_1, f_2$ 가 증가하고 $g_1, g_2$ 가 반지름 대칭적이며 감소하는 경우, $B_1$ 내에서 $(-\Delta)^{\alpha_1}u = f_1(v) + g_1$, $(-\Delta)^{\alpha_2}v = f_2(u) + g_2$ 의 형태를 가진 연립방정식에 대해서도 대칭 결과가 확장된다.
• 해의 반사 차이 $w_\lambda = u_\lambda - u$ 가 반사 영역 내에서 식별적으로 0이 아닌 한 양수임을 보여주며, 핵 함수의 단조성과 모순을 이용한다.
• 핵 함수가 $K(x) = |x|^{-N-2\alpha}$ 의 형태를 가진 $B_r$ 내에서와 외부에서는 비음수이자 반지름 대칭적이며 감소하는 핵 함수를 가지며, 적분 가능성과 단조성 조건을 만족할 경우 일반화된 결과가 제공된다.