[논문 리뷰] Radial terrace solutions and propagation profile of multistable reaction-diffusion equations over $\mathbb R^N$

Yihong Du, Hiroshi Matano|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 02.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models참고 문헌 19인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 다안정 반응-확산 방정식의 해의 전파 프로파일을 $ℝ^N$에서 규명하기 위해 반경 방향 테라스 해를 도입하고, 일반적인 해가 시간 이동이 있는 이동파의 수열로 균일 수렴함을 보여준다. 핵심 결과는 전파 속도가 유한한 파동 속도의 집합 $‗c_k‘$에 의해 결정되며, 시간 이동에 $‗\frac{N-1}{c_k}\log t‘$의 로그 보정 항이 존재함을 보여주어, 고전적인 이안정 파동 행동을 다안정 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

We study the propagation profile of the solution $u(x,t)$ to the nonlinear diffusion problem $u_t-Δu=f(u)\; (x\in \mathbb R^N,\;t>0)$, $u(x,0)=u_0(x) \; (x\in\mathbb R^N)$, where $f(u)$ is of multistable type: $f(0)=f(p)=0$, $f'(0)<0$, $f'(p)<0$, where $p$ is a positive constant, and $f$ may have finitely many nondegenerate zeros in the interval $(0, p)$. The class of initial functions $u_0$ includes in particular those which are nonnegative and decay to 0 at infinity. We show that, if $u(\cdot, t)$ converges to $p$ as $t o\infty$ in $L^\infty_{loc}(\mathbb R^N)$, then the long-time dynamical behavior of $u$ is determined by the one dimensional propagating terraces introduced by Ducrot, Giletti and Matano [DGM]. For example, we will show that in such a case, in any given direction $ν\in\mathbb{S}^{N-1}$, $u(x\cdot ν, t)$ converges to a pair of one dimensional propagating terraces, one moving in the direction of $x\cdot ν>0$, and the other is its reflection moving in the opposite direction $x\cdotν<0$. Our approach relies on the introduction of the notion "radial terrace solution", by which we mean a special solution $V(|x|, t)$ of $V_t-ΔV=f(V)$ such that, as $t o\infty$, $V(r,t)$ converges to the corresponding one dimensional propagating terrace of [DGM]. We show that such radial terrace solutions exist in our setting, and the general solution $u(x,t)$ can be well approximated by a suitablly shifted radial terrace solution $V(|x|, t)$. These will enable us to obtain better convergence result for $u(x,t)$. We stress that $u(x,t)$ is a high dimensional solution without any symmetry. Our results indicate that the one dimensional propagating terrace is a rather fundamental concept; it provides the basic structure and ingredients for the long-time profile of solutions in all space dimensions.

연구 동기 및 목표

• 다안정 반응-확산 방정식의 해가 $(0,p)$ 내 다수의 안정 상태를 갖는 비선형성 $f(u)$를 가질 때, $\mathbb{R}^N$에서의 장기적 전파 프로파일을 이해하는 것.
• 고전적인 이동파 해 행동(예: $U(|x|-ct + \frac{N-1}{c}\log t + R_0)$)을 다안정 케이스로 일반화하여, 다수의 안정 상태가 존재하는 경우를 다루는 것.
• 일차원 전파 테라스 행동을 반경 방향에서 재현하는 반경 방향 테라스 해를 구성하여 일반 비반경 해와의 비교를 가능하게 하는 것.
• 특히 $o(t)$ 항의 정확한 형태를 규명하여, 일반적인 $f$에 대해 $\frac{N-1}{c_k}\log t + O(1)$임을 보이는 것.
• 일반 해가 $L^\infty_{\text{loc}}$ 수렴으로써 $p$로 점점 가까워질 때, 시간에 따라 변화하는 유계 공간 이동을 제외하고는 반경 해와 동일한 테라스 구조를 따름을 증명하는 것.

제안 방법

• 일반 해의 행동과 유사한 점근적 파동 행동을 보이는 특수한 반경 대칭 해인 반경 테라스 해를 구성한다.
• 비반경 초기 자료에 대해 비교 원리를 이용해 반경 테라스 해를 비교 도구로 활용하여 하한 및 상한 해를 구축한다.
• 반경 해의 등고선을 분석하여 다안정 비선형성의 각 안정 상태에 해당하는 별도의 파동 전면을 식별한다.
• 해가 $L^\infty_{\text{loc}}$ 수렴으로써 $p$에 접근한다는 사실을 이용해 반경 해가 속도 $c_k$를 갖는 이동파 $U_k$의 수열로 수렴함을 증명한다.
• 연속된 파동 사이의 속도 갭 $c_k$와 $c_{k+1}$을 이용해 반경 해에 대한 날카운 경계를 유도하며, 이는 $t \to \infty$에서 파동 전면이 겹치지 않음을 보장한다.
• 반경 좌표에서의 로그 보정 분석과 함께 $L^\infty$ 유계성 조건을 이용해 $o(t)$ 항이 $\frac{N-1}{c_k}\log t + O(1)$임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형성 $f(u)$가 $(0,p)$ 내 다수의 안정 영점이 존재할 때, $\mathbb{R}^N$에서 다안정 반응-확산 방정식의 해의 전파 프로파일은 어떻게 행동하는가?
• RQ2 Ducrot, Giletti, Matano가 제시한 일차원 전파 테라스 구조는 $\mathbb{R}^N$의 반경 및 비반경 설정으로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ3 이러한 해의 전파 프로파일에서 시간 이동의 정확한 형태, 특히 $o(t)$ 항은 무엇인가?
• RQ4 파동 속도 $c_k$와 로그 보정 항 $\frac{N-1}{c_k}\log t$는 해의 점근적 행동에서 어떻게 상호작용하는가?
• RQ5 해가 균일하게 이동파의 합으로 수렴하는 조건는 무엇이며, 이동 함수는 공간 방향에 따라 어떻게 의존하는가?

주요 결과

• 해 $u(x,t)$는 $t \to \infty$일 때, $\tilde{\zeta}_k \in L^\infty$를 만족하는 $U_k(|x| - c_k t - \zeta_k(t) - \tilde{\zeta}_k(t, x/|x|))$의 합으로 균일 수렴한다.
• 시간 이동 $\zeta_k(t)$는 일반적인 $f$에 대해 $\zeta_k(t) = c_k t + \frac{N-1}{c_k}\log t + O(1)$를 만족하며, 이 로그 항은 반경 기하학에서 기인한다.
• 일반적인 $f$에 대해 시간 이동의 $o(t)$ 항은 정확히 $\frac{N-1}{c_k}\log t + O(1)$이며, 이는 속도 갭과 구성된 해의 반경 대칭성에서 유도된다.
• 반경 테라스 해는 반경 방향에서의 장기적 행동이 일차원 전파 테라스와 일치하도록 구성되어 있어 일반 해와의 비교를 가능하게 한다.
• 수렴은 $x \in \mathbb{R}^N \setminus \{0\}$에서 균일하며, 서로 다른 $c_k$에 해당하는 파동 전면은 $t \to \infty$일 때 간격이 무한히 커지며 겹치지 않는다.
• 비선형성이 추가 조건 (f4)를 만족할 경우, 이동 함수 $\tilde{\eta}_k(t, \nu)$는 $t \to \infty$일 때 상수 $R_k$로 수렴하여, 파동 전면 위치의 점근적 안정화를 의미한다.