[논문 리뷰] Rainbow Neighbourhood Equate Number of Graphs

Johan Kok, Sudev Naduvath|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 01.

Graph Labeling and Dimension Problems참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 J-색칠법(모든 정점이 모든 색을 포함하는 무지개 이웃을 가진 적절한 정점 색칠법)을 허용하는 부분그래프를 만들기 위해 제거해야 하는 정점의 최소 수로 정의된 레인보우 이웃 등가 수(rainbow neighbourhood equate number, ren(G))를 소개한다. 본 연구는 ren(G)의 기본 성질을 수립하고, 색칠도수(chromatic degree) 및 색칠지름(chromatic diameter)과 같은 관련 불변량을 정의하며, 특히 그래프의 복합 연산에 대해 구조적 결과를 탐색한다. 주요 발견은 그래프 복합 연산에서 ren(G)의 행동 양태에 대한 재귀 공식을 유도하는 것이다.

ABSTRACT

In this paper, a new invariant of a graph namely, the rainbow neighbourhood equate number of a graph $G$ denoted by $ren(G)$ is introduced. It is defined to be the minimum number of vertices whose removal results in a subgraph that admits a $J$-colouring. The new notions of chromatic degree of a vertex $d_χ(v)$, the maximum and minimum chromatic degrees of $G$ denoted, $Δ_χ(G)$ and $δ_χ(G)$ respectively, are also introduced. The chromatic diameter of $G$ denoted, $d(G,χ)$ is introduced as well. The study of $ren(G)$ appears to be very complex for graphs in general so for now, only introductory results will be presented. Finally, the concept of a chromatic degree sequence is proposed as a new research direction.

연구 동기 및 목표

• 새로운 그래프 불변량인 레인보우 이웃 등가 수(rainbow neighbourhood equate number, ren(G))를 정의하고 조사하여, 그래프가 J-색칠법을 허용하도록 하기 위해 필요한 최소 정점 제거 수를 측정한다.
• 색칠도수 dχ(v), 최대/최소 색칠도수 Δχ(G), δχ(G), 그리고 색칠지름 d(G,χ)와 같은 새로운 그래프 매개변수를 도입하고 분석한다.
• J-색칠법 하에서 그래프의 구조적 성질을 탐색하고, 부분그래프가 이러한 색칠법을 허용하는 조건을 규명한다.
• 특히 G∘H에 대해 그래프 복합 연산 하에서 ren(G)의 행동을 분석하고, 하위그래프의 색칠 성질에 기반한 재귀 공식을 도출한다.
• 그래프적 도수 수열(graphical degree sequences)과 유사한 색칠도수 수열(chromatic degree sequence)의 개념을 제안하고, 새로운 연구 방향으로 제시한다.

제안 방법

• ren(G)를 정의한다: G에서 부분그래프 H가 J-색칠법을 허용하도록 하기 위해 제거해야 하는 정점의 최소 수로 정의한다. 여기서 J-색칠법이란 모든 정점이 모든 색을 포함하는 무지개 이웃을 가진 적절한 정점 색칠법을 의미한다.
• 색칠도수 dχ(v)를 정의한다: 정점 v의 폐쇄 이웃 N[v]에서 색의 수의 수를 의미하며, χ⁻-색칠법 하에서 정의된다.
• Δχ(G)와 δχ(G)를 각각 G의 모든 정점에서의 최대 및 최소 색칠도수로 정의한다.
• 색칠지름 d(G,χ)를 정의한다: G의 모든 정점 쌍 u,v에 대해 |dχ(u) - dχ(v)|의 최대값으로 정의한다.
• χ⁻-색칠 기준을 사용한다: 색을 색인 순으로 할당하고, 각 색에 할당되는 정점 수를 최대화함으로써 일관되고 최소한의 매개변수 색칠을 보장한다.
• 그래프 복합 연산 G∘H를 재귀 공식을 통해 분석한다: χ(H′) ≥ k−1 이면 ren(G∘H) = n·ren(H), 아니면 ren(G∘H) = n·ren(H) + (m+1)·Σθ(ci) (i = χ(H′)+2 부터 k까지), 여기서 H′는 H의 각 복제본에서 ren(H)개의 정점을 제거한 후의 부분그래프이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 그래프 G에서 J-색칠법을 허용하는 부분그래프를 확보하기 위해 제거해야 하는 정점의 최소 수는 얼마인가?
• RQ2 색칠도수 dχ(v), 최대 색칠도수 Δχ(G), 그리고 색칠지름 d(G,χ)는 그래프의 구조와 색칠 가능성과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 그래프 복합 연산, 예를 들어 G∘H에서 레인보우 이웃 등가 수 ren(G)는 어떻게 행동하는가?
• RQ4 H와 G에 어떤 조건이 성립할 경우, 복합 그래프 G∘H가 H의 색칠 성질에 따라 J-색칠법 성질을 유지하거나 변화시키는가?
• RQ5 어떤 유한 정수 수열이 χ⁻-색칠법 하에서 그래프의 색칠도수 수열(dχ)이 될 수 있으며, 그러한 수열을 특징짓는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• n ≥ 3 인 경로 Pn에 대해, n 이 짝수 또는 3의 배수이면 ren(Pn) = 0 이고, 그렇지 않으면 ren(Pn) = 1 이다. 이는 Pn이 오직 이러한 조건에서만 J-색칠법을 허용하기 때문이다.
• 순환 그래프 Cn에 대해, n ≡ 0 (mod 2) 또는 n ≡ 0 (mod 3) 이면 ren(Cn) = 0 이고, 그렇지 않으면 ren(Cn) = 1 이다. 이는 Cn이 오직 이러한 경우에만 J-색칠법을 허용하기 때문이다.
• 휠 그래프 Wn+1 = K1 + Cn에 대해, n ≡ 0 (mod 3) 이면 ren(Wn+1) = 0 (J(Wn+1) = 4 이므로)이고, 그렇지 않으면 ren(Wn+1) = 1 이다. 이는 J-색칠법 조건를 충족하는지 여부에 따라 달라진다.
• |G| = n, |H| = m, χ(G) = k 인 그래프 복합 연산 G∘H에 대해, H의 각 복제본에서 ren(H)개의 정점을 제거한 후의 H′가 χ(H′) ≥ k−1 를 만족하면, ren(G∘H) = n·ren(H) 이다.
• 만약 제거 후 χ(H′) < k−1 이면, ren(G∘H) = n·ren(H) + (m+1)·Σθ(ci) (i = χ(H′)+2 부터 k까지) 이다. 이는 나머지 색 집합 내 색의 다중도에 의존함을 보여준다.
• 모든 정점의 색칠도수가 동일한 그래프, 예를 들어 완전그래프 Kn 및 경로 Pn에서는 색칠지름 d(G,χ)가 0이다. 이는 색칠도수 분포가 균일함을 나타낸다.