[论文解读] Random attractors for 2D and 3D stochastic convective Brinkman-Forchheimer equations in some unbounded domains

Kush Kinra, Manil T. Mohan|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2020

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 47被引用 6

一句话总结

该论文在无界 Poincaré 域中，针对具有不规则加法噪声的二维和三维随机对流 Brinkman-Forchheimer 方程，建立了随机吸引子和不变测度的存在性。通过 Faedo-Galerkin 近似和 Cameron-Martin 空间技术，证明了能量等式和渐近紧致性，表明当 $ d=2 $，$ r\in[1,\infty) $，以及 $ d=3 $，$ r\in[3,\infty) $ 时，随机吸引子存在，且当 $ r>3 $ 时对噪声正则性要求更高。通过修改 Stokes 算子的假设，结果可推广至一般无界域。

ABSTRACT

In this work, we consider the two and three-dimensional stochastic convective Brinkman-Forchheimer (2D and 3D SCBF) equations driven by irregular additive white noise $$\mathrm{d}\boldsymbol{u}-[μΔ\boldsymbol{u}-(\boldsymbol{u}\cdot abla)\boldsymbol{u}-α\boldsymbol{u}-β|\boldsymbol{u}|^{r-1}\boldsymbol{u}- abla p]\mathrm{d} t=\boldsymbol{f}\mathrm{d} t+\mathrm{d}\mathrm{W},\ abla\cdot\boldsymbol{u}=0,$$ for $r\in[1,\infty),$ $μ,α,β>0$ in unbounded domains (like Poincaré domains) $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$ ($d=2,3$) where $\mathrm{W}(\cdot)$ is a Hilbert space valued Wiener process on some given filtered probability space, and discuss the asymptotic behavior of its solution. For $d=2$ with $r\in[1,\infty)$ and $d=3$ with $r\in[3,\infty)$ (for $d=r=3$ with $2βμ\geq 1$), we first prove the existence and uniqueness of a weak solution (in the analytic sense) satisfying the energy equality for SCBF equations driven by an irregular additive white noise in Poincaré domains by using a Faedo-Galerkin approximation technique. Since the energy equality for SCBF equations is not immediate, we construct a sequence which converges in Lebesgue and Sobolev spaces simultaneously and it helps us to demonstrate the energy equality. Then, we establish the existence of random attractors for the stochastic flow generated by the SCBF equations. One of the technical difficulties connected with the irregular white noise is overcome with the help of the corresponding Cameron-Martin space (or Reproducing Kernel Hilbert space). Finally, we address the existence of a unique invariant measure for 2D and 3D SCBF equations defined on Poincaré domains (bounded or unbounded). Moreover, we provide a remark on the extension of the above mentioned results to general unbounded domains also.

研究动机与目标

• 分析在无界域中具有不规则加法噪声的随机对流 Brinkman-Forchheimer (SCBF) 方程解的长期行为。
• 通过 Faedo-Galerkin 近似，建立满足能量等式的弱解在 Poincaré 域中的存在性与唯一性。
• 在特定维度和非线性指数 $ r $ 的条件下，证明由 SCBF 方程生成的随机流存在随机吸引子。
• 研究二维和三维 SCBF 方程存在唯一不变测度的条件，及其遍历性和强混合性质。
• 通过修改 Stokes 算子的假设并使用 $ (1+\mathrm{A})^{-\delta} $ 替代 $ \mathrm{A}^{-\delta} $，将结果推广至一般无界域。

提出的方法

• 采用 Faedo-Galerkin 近似构造在 Lebesgue 空间和 Sobolev 空间中收敛的解序列，从而证明具有不规则噪声的 SCBF 方程的能量等式。
• 利用 Cameron-Martin 空间（再生核希尔伯特空间）处理随机项中不规则加法白噪声的不规则性。
• 应用 Itō 微积分和 Itō 等距公式推导能量估计，并在 $ \mathbb{H} $ 和 $ \mathbb{V} $ 空间中获得解的先验界。
• 通过一致有界性和收敛性论证，建立渐近紧致性，这是证明随机吸引子存在性的关键。
• 应用 Gronwall 不等式得到解差值的指数衰减估计，确保路径唯一性和稳定性。
• 通过用 $ (1+\mathrm{A})^{-\delta} $ 替代 $ \mathrm{A}^{-\delta} $，修改 Stokes 算子的假设，从而将结果推广至一般无界域。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无界 Poincaré 域中，二维和三维随机对流 Brinkman-Forchheimer 方程的随机吸引子在什么维度 $ d $ 和非线性指数 $ r $ 条件下存在？
• RQ2 在缺乏标准正则性的情况下，如何严格建立由不规则加法噪声驱动的 SCBF 方程的能量等式？
• RQ3 与二维 Navier-Stokes 方程相比，当 $ d=2, r\in(3,\infty) $ 和 $ d=3, r>3 $ 时，为确保随机吸引子存在，所需噪声的空间正则性为何？
• RQ4 Darcy 系数 $ \alpha>0 $ 的存在是否能实现结果向一般无界域或整个空间的推广？
• RQ5 在什么条件下存在唯一不变测度？该测度是否具有遍历性和强混合性？

主要发现

• 当 $ d=2 $，$ r\in[1,\infty) $，以及 $ d=3 $，$ r\in[3,\infty) $，且当 $ r=3 $ 时满足 $ 2\beta\mu\geq 1 $，SCBF 方程在 Poincaré 域中存在唯一弱解，且满足能量等式。
• 在指定条件下，通过渐近紧致性和吸收性，证明了当 $ d=2 $，$ r\in[1,\infty) $，以及 $ d=3 $，$ r\in[3,\infty) $ 时，随机吸引子存在。
• 当 $ d=2 $，$ r\in[1,3] $，以及 $ d=r=3 $ 且 $ 2\beta\mu\geq 1 $ 时，随机吸引子所需的噪声正则性与二维 Navier-Stokes 方程一致；但当 $ r>3 $ 时，需要更强的正则性。
• 在 Poincaré 域上，二维和三维 SCBF 方程均存在唯一不变测度，且该测度是遍历的且强混合的。
• 通过在假设中用 $ \mathrm{A}^{-\delta} $ 替代 $ (1+\mathrm{A})^{-\delta} $，并调整 $ \mathbb{V} $ 空间中的范数，可将结果推广至一般无界域。
• 能量等式的证明依赖于构造一个在 Lebesgue 空间和 Sobolev 空间中同时收敛的序列，从而克服了不规则噪声带来的标准正则性缺失问题。