[논문 리뷰] Random-Facet and Random-Bland require subexponential time even for shortest paths

Oliver Friedmann, Thomas Dueholm Hansen외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 28.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 39인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Random-Facet 및 Random-Bland 심플렉스 알고리즘 변형이 구조적 선형 프로그래밍 문제의 특수한 경우인 최단경로 문제에서도 여전히 하위지수 시간이 필요하다는 것을 보여주며, 이러한 알고리즘이 그러한 문제에서 다항시간이 될 수 있다는 추측에 도전한다. 이 결과는 특정 다면체 구조에서의 피벗 규칙에 대한 조합적 분석을 통해 확립된다.

ABSTRACT

The Random-Facet algorithm of Kalai and of Matousek, Sharir and Welzl is an elegant randomized algorithm for solving linear programs and more general LP-type problems. Its expected subexponential time of $2^{ ilde{O}(\sqrt{m})}$, where $m$ is the number of inequalities, makes it the fastest known combinatorial algorithm for solving linear programs. We previously showed that Random-Facet performs an expected number of $2^{ ildeΩ(\sqrt[3]{m})}$ pivoting steps on some LPs with $m$ inequalities that correspond to $m$-action Markov Decision Processes (MDPs). We also showed that Random-Facet-1P, a one permutation variant of Random-Facet, performs an expected number of $2^{ ilde{O}(\sqrt{m})}$ pivoting steps on these examples. Here we show that the same results can be obtained using LPs that correspond to instances of the classical shortest paths problem. This shows that the stochasticity of the MDPs, which is essential for obtaining lower bounds for Random-Edge, is not needed in order to obtain lower bounds for Random-Facet. We also show that our new $2^{ ildeΩ(\sqrt{m})}$ lower bound applies to Random-Bland, a randomized variant of the classical anti-cycling rule suggested by Bland.

연구 동기 및 목표

• 최단경로 문제에 대한 Random-Facet 및 Random-Bland 심플렉스 알고리즘의 최악의 시간 복잡도를 조사하는 것.
• 이 랜덤화된 피벗 규칙이 구조적 선형 프로그래밍 문제에서 다항시간 성능을 달성하는지 여부를 판단하는 것.
• 최단경로 공식화에서 유래하는 다면체에서 이러한 알고리즘의 동작을 분석하는 것.
• 이 알고리즘에 의해 요구되는 심플렉스 피벗의 기대 수에 대한 날것의 하한을 제공하는 것.

제안 방법

• 논문은 최단경로 다면체에서 Random-Facet 및 Random-Bland 알고리즘을 분석한다.
• 랜덤로 선택된 면을 사용하는 재귀적 피벗 규칙과 기저 갱신 시 피벗 연산을 사용한다.
• 랜덤으로 선택된 색인 i를 선택한 후, 기저 B를 유지하면서 나머지 면 F\{i}의 면을 재귀적으로 탐색한다.
• 개선이 가능한 경우에만 피벗 연산을 적용하고, 그렇지 않으면 개선되지 않은 기저로 진행한다.
• 분석은 다면체의 조합적 성질과 랜덤 선택에 따른 기대 피벗 수에 기반한다.
• 증명은 기대 피벗 수가 하위지수인 최단경로 인스턴스의 가족을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Random-Facet 및 Random-Bland 심플렉스 알고리즘이 최단경로 문제에서 다항시간 내에 실행되는가?
• RQ2 이 알고리즘이 최단경로 다면체에서 기대 피벗 수는 얼마인가?
• RQ3 구조적 선형 프로그래밍 문제에서 랜덤화된 심플렉스 방법에 대해 하위지수 하한을 확립할 수 있는가?
• RQ4 최단경로 인스턴스에 기반한 조합적 구조가 이러한 알고리즘의 장기 피벗 시퀀스를 유도하는가?

주요 결과

• Random-Facet 및 Random-Bland 알고리즘은 최단경로 문제조차도 하위지수 기대 시간이 필요하다.
• 기대 피벗 수는 입력 크기의 하위지수 함수에 의해 하한이 둔다.
• 이 결과는 이러한 알고리즘이 최단경로 선형 프로그래밍 문제에서 다항시간이 될 수 있다는 가능성을 반박한다.
• 분석은 최단경로 다면체의 조합적 구조가 랜덤 선택 규칙 하에서도 여전히 장기 피벗 시퀀스를 유도할 수 있음을 보여준다.
• 최단경로 문제의 특수한 구조에도 불구하고 이 하한은 유지되며, 이는 다른 방법으로 다항시간에 해결 가능한 것으로 알려져 있다.