[논문 리뷰] Random perturbations of non-uniformly expanding maps

José F. Alves, Vı́tor Araújo|arXiv (Cornell University)|2000. 11. 21.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 15인용 수 50

한 줄 요약

이 논문은 마르코프 분할과 불변 분할을 통한 랜덤 외란 분석을 통해, 임의의 비균일 확장 맵(비판 집합 유무 상관없이)에 대한 확률적 안정성의 필요충분 조건을 설정한다. 소음이 작을 경우, 랜덤 궤도 통계를 기술하는 물리적 측도의 수는 SRB 측도의 수로 유계임을 증명하며, 이 결과를 바탕으로 [Vi1]과 [ABV]에서 소개된 맵의 계열에 대해 확률적 안정성을 확인한다.

ABSTRACT

We give both sufficient conditions and necessary conditions for the stochastic stability of non-uniformly expanding maps either with or without critical sets. We also show that the number of probability measures describing the statistical asymptotic behaviour of random orbits is bounded by the number of SRB measures if the noise level is small enough. As an application of these results we prove the stochastic stability of certain classes of non-uniformly expanding maps introduced in \cite{V} and \cite{ABV}.

연구 동기 및 목표

• 비균일 확장 동역계에서 비판 집합이 있거나 없을 경우의 확률적 안정성에 대한 필요충분 조건을 설정하기.
• 랜덤 외란이 궤도의 통계적 행동에 미치는 영향을 분석하며, 특히 Dirac 측도의 시간 평균 수렴에 초점 맞추기.
• 소음 수준 $ \epsilon $ 이하일 경우, 랜덤 궤도의 장기적 통계적 행동을 기술하는 물리적 측도의 수를 SRB 측도의 수로 유계화하기.
• 특정 계열의 비균일 확장 맵에 대해 [Vi1]과 [ABV]에서 소개된 바에 따라 확률적 안정성을 증명하기.

제안 방법

• 소음 분포 $ \theta_\epsilon $ 가 $ t^* $ 근처에 집중된 $ C^2 $ 맵의 가중치 집합 $ f_t $ 를 $ t \to T $ 에 따라 정의하고, 랜덤 궤도를 구성한다.
• 약한-* 위상에서 랜덤 궤도의 시간 평균의 Dirac 측도의 약한 극한으로서 물리적 측도 $ \mu^\epsilon $ 를 정의한다.
• 벡터장 $ (\xi^c(\underline{t},z), 1) $ 의 해를 통해 불변 분할 $ \mathcal{F}^c_{\underline{t}} $ 를 구성하며, 수평 확장과 호모토피 장애 방법을 통해 유일성을 확보한다.
• 불변 리프의 여집합의 역상으로서 마르코프 분할 $ \mathcal{P}^n_{\underline{t}} $ 를 정의하고, 시간이 지남에 따라 세분화되며 지수적 크기 추정을 도출한다.
• 역동성의 연속성과 $ \xi^c(\underline{t}^*, \cdot) $ 가 비외상 분할에 대응함을 고려하여, 소음 $ \epsilon $ 이 작을 경우 $ \xi^c(\underline{t}, \cdot) $ 가 0에 균일하게 가까워짐을 증명한다.
• 얻어진 마르코프 구조를 바탕으로, 집합 $ B_1(n) $ 과 $ B_2(n) $ 의 르베그 측도에 대한 정량적 추정을 도출하며, 이 정수는 오직 이차 맵 $ Q $ 에만 의존한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소음이 작은 경우 비균일 확장 맵이 랜덤 외란 하에서 언제 확률적 안정성이 되는가?
• RQ2 소음 수준 $ \epsilon $ 이 작을 경우, 랜덤 궤도의 물리적 측도 수와 비외상 시스템의 SRB 측도 수 사이의 관계는 어떠한가?
• RQ3 이 틀을 사용하여 [Vi1]과 [ABV]에서 소개된 맵의 계열에 대한 확률적 안정성을 엄밀히 증명할 수 있는가?
• RQ4 불변 분할과 마르코프 분할이 비균일 혼합 시스템에서 확률적 안정성 증명에 어떻게 기여하는가?
• RQ5 중심 방향 $ \xi^c $ 가 0에 균일하게 가까워지는 것이 통계적 성질의 안정성 확보에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 비균일 확장 맵(비판 집합 유무 상관없이)에 대해 확률적 안정성의 필요충분 조건이 설정되었다.
• 소음 수준 $ \epsilon $ 이 충분히 작을 경우, 랜덤 궤도의 통계적 행동을 기술하는 물리적 측도의 수는 SRB 측도의 수로 유계이다.
• 소음 $ \epsilon > 0 $ 이 작을 경우, 맵 $ \xi^c(\underline{t}, \cdot) $ 는 0에 균일하게 가까워지며, 이는 잘 정의된 불변 분할 $ \mathcal{F}^c_{\underline{t}} $ 가 존재함을 보장한다.
• 벡터장 $ (\xi^c(\underline{t}, z), 1) $ 의 적분 곡선의 유일성은 수평 확장과 호모토피 장애 방법을 통해 증명되었다.
• 마르코프 분할 $ \mathcal{P}^n_{\underline{t}} $ 는 불변 리프의 역상으로 구성되며, $ \omega \in \mathcal{P}^n_{\underline{t}} $ 에 대해 $ (d - \text{const} \cdot \alpha)^{-n} \leq |\omega| \leq (d + \text{const} \cdot \alpha)^{-n} $ 이 성립한다.
• 결과적으로, [Vi1]과 [ABV]에서 소개된 비균일 확장 맵의 계열이 소음이 작은 경우 확률적 안정성을 확보한다.